math - 连续坐标旋转中的浮点误差

Question

我有代码（Python）必须执行一些关于曲线反射段之间距离的操作。

为了使思路和代码更清晰，我在执行实际计算之前应用了两次旋转（使用矩阵乘法）。我想可以完全不进行任何旋转来执行计算，但是代码和思维会更加尴尬。

我要问的是：由于舍入浮点错误，三个旋转是否会导致精度损失过多？有没有办法估计这个误差的大小？

谢谢阅读

Answer 1

作为数值计算的经验法则——只认真对待前 12 位数字:)

现在，假设 3D 旋转，并且三角函数的结果是无限精确的，矩阵乘法将涉及旋转向量中每个元素的 3 次乘法和 2 次加法。由于您进行了两次旋转，这相当于每个元素 6 次乘法和 4 次加法。

如果您阅读本文（您应该在一天内从前到后阅读）、或this或this，您会发现 IEEE 754 的各个算术运算保证在半个 ULP 以内（=最后一个小数位）。

应用于您的问题，这意味着结果向量中每个元素的 10 次操作将精确到 5 ULP 以内。

换句话说——假设你正在旋转一个单位向量。旋转矢量的元素将精确到 0.000000000000005——我想说这没什么好担心的。

包括触发函数中的错误，嗯，这有点复杂......这实际上取决于您的编程语言和/或编译器的版本等。但我保证它可以与 5 个 ULP 相媲美。

如果您确实认为这种准确性还不够，那么我建议您一次执行两次旋转。解析地计算出矩阵乘法，并将旋转实现为单个矩阵乘法。或者：看看四元数（虽然我怀疑这对你的情况来说有点过分了）。

Answer 2

您需要做的是计算您的操作的条件数，并确定它是否可能导致重要性损失。这应该允许您估计可能引入的错误。