问题是要找到第n 个加泰罗尼亚数 mod m，其中m不是素数，m = (10^14 + 7)。以下是我尝试过的方法列表：（max N = 10,000）
- 查表的动态编程，太慢了
- 使用加泰罗尼亚公式
ncr(2*n, n)/(n + 1)，由于函数的原因，它又不够快，不能使用指数平方ncr加速，因为它不是素数。m - 对预先生成的表进行硬编码
Catalans，但由于文件大小限制而失败。 - 递归关系
C(i,k) = C(i-1,k-1) + C(i-1,k)，这太慢了
所以我想知道有没有其他更快的算法来找到我不知道的第 n 个加泰罗尼亚数字？
使用动态规划
void generate_catalan_numbers() {
catalan[1] = 1;
for (int i = 2; i <= MAX_NUMBERS; i++) {
for (int j = 1; j <= i - 1; j++) {
catalan[i] = (catalan[i] + ((catalan[j]) * catalan[i - j]) % MODULO) % MODULO;
}
catalan[i] = catalan[i] % MODULO;
}
}
使用原始公式
ull n_choose_r(ull n, ull r) {
if (n < r)
return 0;
if (r > n/2) {
r = n - r;
}
ull result = 1;
ull common_divisor;
for (int i = 1; i <= r; ++i) {
common_divisor = gcd(result, i);
result /= common_divisor;
result *= (n - i + 1) / (i / common_divisor);
}
return result;
}
使用递归关系
ull n_choose_r_relation(ull n, ull r) {
for (int i = 0; i <= n + 1; ++i) {
for (int k = 0; k <= r && k <= i; ++k) {
if (k == 0 || k == i) {
ncr[i][k] = 1;
}
else {
ncr[i][k] = (ncr[i - 1][k - 1] + ncr[i - 1][k]) % MODULO;
}
}
}
return ncr[n][r];
}
。