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我正在编写一个函数来获取两个向量之间的马氏距离。我知道这是使用方程 a'*C^-1*b 实现的，其中 a 和 b 是向量，C 是协方差矩阵。我的问题是，有没有一种有效的方法可以在不使用 Gauss-Jordan 消除的情况下找到矩阵的逆矩阵，或者没有办法解决这个问题？我正在寻找一种方法来自己做这件事，而不是使用任何预定义的函数。

我知道 C 是 Hermitian 正定矩阵，那么有什么方法可以在算法上利用这个事实吗？还是有一些聪明的方法可以计算马氏距离而不计算协方差的倒数？任何帮助，将不胜感激。

***编辑：上面的马氏距离方程不正确。它应该是 x'*C^-1*x，其中 x = (ba)，b 和 a 是我们试图找到其距离的两个向量（感谢 LRPurser）。因此，所选答案中提出的解决方案如下：

d=x'*b，其中 b = C^-1*x C*b = x，因此使用 LU 分解或 LDL' 分解求解 b。

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您可以（并且应该！）使用LU 分解而不是显式反转矩阵：使用分解求解C x = b比计算C^-1和乘以向量具有更好的数值属性b。

由于您的矩阵是对称的，因此 LU 分解实际上等效于LDL* 分解，这是您实际应该使用的。由于您的矩阵也是正定的，因此您应该能够在不旋转的情况下执行此分解。

编辑：请注意，对于此应用程序，您不需要解决全部C x = b问题。

相反，给定C = L D L*和差分向量v = a-b求解L* y = v（y这是完整 LU 求解器的一半工作量）。

然后，y^t D^-1 y = v^t C^-1 v可以在线性时间内计算。

于 2012-08-02T20:56:10.010 回答
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第一马氏距离 (MD) 是关于两个向量测量中不确定性的规范距离。当 时C=Indentity matrix，MD 减少到欧几里得距离，因此乘积减少到向量范数。此外，对于所有非零向量，MD 始终为正定或大于零。By your formulation with the appropriate choice of the vectors aand b, a*C^-1*bcan be less than zero. 希望您正在寻找的向量的不同之处在于x=(a-b)计算向量的转置在x^t*C^-1*x哪里。另请注意， 由于您的矩阵是对称且正定的，因此您可以利用 Cholesky 分解，它使用一半的运算作为 LU，并且在数值上更稳定。x^txMD=sqrt(x^t*C^-1*x)(MatLab-chol)chol(C)=L其中C=L*L^twhereL是下三角矩阵，L^t是L使其成为上三角矩阵的转置。你的算法应该是这样的

(Matlab)

  x=a-b;
  L=chol(C); 
  z=L\x; 
  MD=z'*z; 
  MD=sqrt(MD);
于 2012-08-03T16:06:41.487 回答
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# Mahalanobis Distance Matrix

import numpy as np
from scipy.spatial import distance
from scipy.spatial.distance import mahalanobis
from scipy.spatial.distance import pdist
from scipy.spatial.distance import squareform

# Example
Data = np.array([[1,2],[3,2],[4,3]])
Cov = np.cov(np.transpose([[1,2],[3,2],[4,3]]))
invCov = np.linalg.inv(Cov)

Y = pdist(Data, 'mahalanobis', invCov)
MD = squareform(Y)
于 2021-12-18T11:04:07.137 回答