math - 将复杂的矩阵变换分解为一系列简单的变换？

Question

我想知道是否有可能（以及如何）将任意 M3 矩阵变换重新表示为一系列更简单的变换（例如平移、缩放、倾斜、旋转）

换句话说：如何从 MComplex 计算 MTranslate、MScale、MRotate、MSkew 矩阵，以便以下等式成立：

MComplex = MTranslate * MScale * MRotate * MSkew（或以其他顺序）

Answer 1

奇异值分解（另请参阅此博客和此PDF）。它将任意矩阵转换为 3 个矩阵的组合：正交 + 对角线 + 正交。正交矩阵是旋转矩阵；对角矩阵表示沿主轴的倾斜 = 缩放。

翻译在游戏中抛出了一个活动扳手，但你应该做的是取出矩阵的平移部分，这样你就有一个 3x3 矩阵，在其上运行 SVD 以给你旋转+倾斜，然后将平移部分添加回. 这样，您将拥有 4 个矩阵的旋转 + 缩放 + 旋转 + 平移组合。可能可以在 3 个矩阵中执行此操作（旋转 + 沿一组轴缩放 + 平移），但我不确定如何......也许是 QR 分解（Q = 正交 = 旋转，但我不确定是否R 仅倾斜或具有旋转部分。）

Answer 2

是的，但解决方案不会是唯一的。你也应该把翻译放在最后（其余的顺序无关紧要）

对于任何给定的方阵A，都存在无限多个矩阵B，C因此A = B*C. 选择任何可逆矩阵B（这意味着 B^-1 存在或 det(B) != 0）和 now C = B^-1*A。

因此，对于您的解决方案，首先分解MC为MT和MS*MR*MSk*I，选择 MT 作为一些可逆转置矩阵。然后将其余部分分解为MS和MR*MSk*I，使 MS 为任意缩放矩阵。等等...

现在，如果乐趣的最后I是一个单位矩阵（对角线上为 1，其他地方为 0），那么你很好。如果不是，请重新开始，但选择不同的矩阵；-)

事实上，象征性地使用上述方法，您可以创建一组方程，这些方程将为您生成所有这些矩阵的参数化公式。

这些分解对你有多大用处，嗯——那是另一回事了。

如果您将其输入Mathematica或Maxima，他们会立即为您计算。