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取两个 3x3 矩阵的乘积A*B=C。天真地，这需要使用标准算法进行 27 次乘法运算。如果有人聪明的话，你可以只使用 23 次乘法，这是 Laderman 在 1973 年发现的结果。该技术涉及节省中间步骤并以正确的方式组合它们。

现在让我们修复一种语言和一种类型，比如带有double. 如果 Laderman 算法是硬编码而不是简单的双循环，我们能否期望现代编译器的性能能够消除算法的差异？

关于这个问题的注释：这是一个编程站点，这个问题是在时间关键内循环的最佳实践的上下文中提出的；过早优化这不是。非常欢迎作为评论的实施提示。

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4 回答 4

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关键是掌握平台上的指令集。这取决于您的平台。有几种技术，当您倾向于需要最大可能的性能时，您的编译器将附带分析工具，其中一些内置了优化提示。对于最细粒度的操作，请查看汇编器输出，看看是否有任何改进也在那个水平。

同时指令多个数据命令对多个操作数并行执行相同的操作。这样你就可以拿

double a,b,c,d;
double w = d + a; 
double x = a + b;
double y = b + c;
double z = c + d;

并将其替换为

double256 dabc = pack256(d, a, b, c);
double256 abcd = pack256(a, b, c, d);
double256 wxyz = dabc + abcd;

因此，当值被加载到寄存器中时，它们被加载到一个 256 位宽的寄存器中，用于某些具有 256 位宽寄存器的虚构平台。

浮点是一个重要的考虑因素，一些 DSP 可以显着加快整数运算。GPU 在浮点方面往往表现出色，尽管有些 GPU 在单精度上的速度要快 2 倍。这个问题的 3x3 情况可以适合单个 CUDA 线程，因此您可以同时流式传输 256 个这些计算。

选择你的平台，阅读文档，实现几种不同的方法并分析它们。

于 2012-05-31T04:05:26.350 回答
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计时测试：

我自己进行了计时测试，结果让我感到惊讶（因此我首先问这个问题）。简而言之，在标准编译下，laderman速度要快 225%，但使用-03优化标志时要慢 50%！在标志期间，我每次都必须在矩阵中添加一个随机元素，-O3否则编译器会完全优化简单的乘法，在时钟精度内花费零时间。由于该laderman算法很难检查/仔细检查，我将在下面发布完整的代码以供后代使用。

规格：Ubuntu 12.04，戴尔 Prevision T1600，gcc。时间百分比差异：

  • g++ [2.22, 2.23, 2.27]
  • g++ -O3 [-0.48, -0.49, -0.48]
  • g++ -funroll-loops -O3 [-0.48, -0.48, -0.47] 

基准代码以及 Laderman 实现：

#include <iostream>
#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;

void simple_mul(const double a[3][3], 
        const double b[3][3],
        double c[3][3]) {
  int i,j,m,n;
  for(i=0;i<3;i++) {
    for(j=0;j<3;j++) {
      c[i][j] = 0;
      for(m=0;m<3;m++) 
    c[i][j] += a[i][m]*b[m][j];
    }
  }
}

void laderman_mul(const double a[3][3], 
           const double b[3][3],
           double c[3][3]) {

   double m[24]; // not off by one, just wanted to match the index from the paper

   m[1 ]= (a[0][0]+a[0][1]+a[0][2]-a[1][0]-a[1][1]-a[2][1]-a[2][2])*b[1][1];
   m[2 ]= (a[0][0]-a[1][0])*(-b[0][1]+b[1][1]);
   m[3 ]= a[1][1]*(-b[0][0]+b[0][1]+b[1][0]-b[1][1]-b[1][2]-b[2][0]+b[2][2]);
   m[4 ]= (-a[0][0]+a[1][0]+a[1][1])*(b[0][0]-b[0][1]+b[1][1]);
   m[5 ]= (a[1][0]+a[1][1])*(-b[0][0]+b[0][1]);
   m[6 ]= a[0][0]*b[0][0];
   m[7 ]= (-a[0][0]+a[2][0]+a[2][1])*(b[0][0]-b[0][2]+b[1][2]);
   m[8 ]= (-a[0][0]+a[2][0])*(b[0][2]-b[1][2]);
   m[9 ]= (a[2][0]+a[2][1])*(-b[0][0]+b[0][2]);
   m[10]= (a[0][0]+a[0][1]+a[0][2]-a[1][1]-a[1][2]-a[2][0]-a[2][1])*b[1][2];
   m[11]= a[2][1]*(-b[0][0]+b[0][2]+b[1][0]-b[1][1]-b[1][2]-b[2][0]+b[2][1]);
   m[12]= (-a[0][2]+a[2][1]+a[2][2])*(b[1][1]+b[2][0]-b[2][1]);
   m[13]= (a[0][2]-a[2][2])*(b[1][1]-b[2][1]);
   m[14]= a[0][2]*b[2][0];
   m[15]= (a[2][1]+a[2][2])*(-b[2][0]+b[2][1]);
   m[16]= (-a[0][2]+a[1][1]+a[1][2])*(b[1][2]+b[2][0]-b[2][2]);
   m[17]= (a[0][2]-a[1][2])*(b[1][2]-b[2][2]);
   m[18]= (a[1][1]+a[1][2])*(-b[2][0]+b[2][2]);
   m[19]= a[0][1]*b[1][0];
   m[20]= a[1][2]*b[2][1];
   m[21]= a[1][0]*b[0][2];
   m[22]= a[2][0]*b[0][1];
   m[23]= a[2][2]*b[2][2];

  c[0][0] = m[6]+m[14]+m[19];
  c[0][1] = m[1]+m[4]+m[5]+m[6]+m[12]+m[14]+m[15];
  c[0][2] = m[6]+m[7]+m[9]+m[10]+m[14]+m[16]+m[18];
  c[1][0] = m[2]+m[3]+m[4]+m[6]+m[14]+m[16]+m[17];
  c[1][1] = m[2]+m[4]+m[5]+m[6]+m[20];
  c[1][2] = m[14]+m[16]+m[17]+m[18]+m[21];
  c[2][0] = m[6]+m[7]+m[8]+m[11]+m[12]+m[13]+m[14];
  c[2][1] = m[12]+m[13]+m[14]+m[15]+m[22];
  c[2][2] = m[6]+m[7]+m[8]+m[9]+m[23];    
}

int main() {
  int N = 1000000000;
  double A[3][3], C[3][3];
  std::clock_t t0,t1;
  timespec tm0, tm1;

  A[0][0] = 3/5.; A[0][1] = 1/5.; A[0][2] = 2/5.;
  A[1][0] = 3/7.; A[1][1] = 1/7.; A[1][2] = 3/7.;
  A[2][0] = 1/3.; A[2][1] = 1/3.; A[2][2] = 1/3.;

  t0 = std::clock();
  for(int i=0;i<N;i++) {
    // A[0][0] = double(rand())/RAND_MAX; // Keep this in for -O3
    simple_mul(A,A,C);
  }
  t1 = std::clock();
  double tdiff_simple = (t1-t0)/1000.;

  cout << C[0][0] << ' ' << C[0][1] << ' ' << C[0][2] << endl;
  cout << C[1][0] << ' ' << C[1][1] << ' ' << C[1][2] << endl;
  cout << C[2][0] << ' ' << C[2][1] << ' ' << C[2][2] << endl;
  cout << tdiff_simple << endl;
  cout << endl;

  t0 = std::clock();
  for(int i=0;i<N;i++) {
    // A[0][0] = double(rand())/RAND_MAX; // Keep this in for -O3
    laderman_mul(A,A,C);
  }
  t1 = std::clock();
  double tdiff_laderman = (t1-t0)/1000.;

  cout << C[0][0] << ' ' << C[0][1] << ' ' << C[0][2] << endl;
  cout << C[1][0] << ' ' << C[1][1] << ' ' << C[1][2] << endl;
  cout << C[2][0] << ' ' << C[2][1] << ' ' << C[2][2] << endl;
  cout << tdiff_laderman << endl;
  cout << endl;

  double speedup = (tdiff_simple-tdiff_laderman)/tdiff_laderman;
  cout << "Approximate speedup: " << speedup << endl;

  return 0;
}
于 2012-05-31T15:04:06.863 回答
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虽然问题提到了 C++，但我在 C#（.NET 4.5）中实现了 3x3 矩阵乘法 C=A*B，并在我的 64 位 windows 7 机器上运行了一些基本的时序测试并进行了优化。10,000,000 次乘法大约需要

  1. 0.556 秒，简单的实现和
  2. 0.874 秒，来自另一个答案的拉德曼代码。

有趣的是，laderman 代码比简单的方式要慢。我没有使用分析器进行调查，但我猜额外的分配比一些额外的乘法更昂贵。

似乎当前的编译器足够聪明，可以为我们做这些优化，这很好。这是我使用的天真的代码，供您参考：

    public static Matrix3D operator *(Matrix3D a, Matrix3D b)
    {
        double c11 = a.M11 * b.M11 + a.M12 * b.M21 + a.M13 * b.M31;
        double c12 = a.M11 * b.M12 + a.M12 * b.M22 + a.M13 * b.M32;
        double c13 = a.M11 * b.M13 + a.M12 * b.M23 + a.M13 * b.M33;
        double c21 = a.M21 * b.M11 + a.M22 * b.M21 + a.M23 * b.M31;
        double c22 = a.M21 * b.M12 + a.M22 * b.M22 + a.M23 * b.M32;
        double c23 = a.M21 * b.M13 + a.M22 * b.M23 + a.M23 * b.M33;
        double c31 = a.M31 * b.M11 + a.M32 * b.M21 + a.M33 * b.M31;
        double c32 = a.M31 * b.M12 + a.M32 * b.M22 + a.M33 * b.M32;
        double c33 = a.M31 * b.M13 + a.M32 * b.M23 + a.M33 * b.M33;
        return new Matrix3D(
            c11, c12, c13,
            c21, c22, c23,
            c31, c32, c33);
    }

其中 Matrix3D 是一个不可变结构（只读双字段）。

棘手的事情是提出一个有效的基准，您可以在其中测量您的代码，而不是，编译器对您的代码做了什么（调试器有大量额外的东西，或者在没有实际代码的情况下进行优化，因为结果从未使用过）。我通常会尝试“触摸”结果，这样编译器就无法删除被测代码（例如检查矩阵元素是否与 89038.8989384 相等，如果相等则抛出）。但是，最后我什至不确定编译器是否会破解这个比较:)

于 2015-04-16T07:15:00.593 回答
2

我预计主要的性能问题将是内存延迟。Adouble[9]通常为 72 个字节。这已经是一笔不小的数目，而您正在使用其中的三个。

于 2012-05-31T08:17:41.887 回答