我有一个带有正交列的 $p \times n$ 矩阵 $B$（其中 $n < p$），并且希望找到一种数值有效的方法来扩展此矩阵以获得完整的 $p$ 维正交基。换句话说，我想通过 $pn$ 互补矩阵 $W$ 计算 $p$ 以便
$[黑白|宽]$
是正交的。
目前我正在计算秩 $pn$ 投影矩阵的 QR 分解
$P=I-BB^T= QR$
使用 LAPACK 例程dgeqp3并dorgqr丢弃 $Q$ 的尾随 $p$ 列。我确信必须有一种更有效的方法，因为在我的应用程序中，$B$ 几乎是一个完整的基础，即 $pn$ 很小。
我想知道如何通过 $P$ 的列递归地构建一个互补的基础 $R$。仅当 $\det([R|C]^T[R|C)\neq0$ 时，在每一步将 $C$ 列添加到当前 $R$。在 $R$ 中有 $pn$ 独立向量后，我可以将 $W$ 形成为 $W=(R^TR)^{-1/2} R$。但是，我不确定这是否是一个数值稳定的解决方案，或者是否有另一种更有效的方法。
理想情况下，我想要一种可以使用标准 LAPACK 例程实现的方法。