math - 具有 3 个给定点的 3D 插值（等距）

Question

我正在开发一个 3D 国际象棋游戏，我需要能够以该轨迹描述抛物线（用于棋子动画）的方式计算轨迹的 X、Y、Z 位置。

因此，对于给定的等距点 p1=(x1,y1,z1)、p2=(x2,y2,z2) 和 p3(x3,y3,z3)，我需要以下公式（或通式）：

x=f(y,z)=???  
y=f(x,z)=???   
z=f(x,y)=???

Answer 1

对于每个分量x，y并z考虑由 定义的单独抛物线

x(t) = x1 - t*(3*x1-4*x2+x3) + 2*t^2*(x1-2*x2+x3)     //t=0..1
y(t) = y1 - t*(3*y1-4*y2+y3) + 2*t^2*(y1-2*y2+y3)     //t=0..1
z(t) = z1 - t*(3*z1-4*z2+z3) + 2*t^2*(z1-2*z2+z3)     //t=0..1

t=0那时x=x1，t=0.5那时x=x2，t=1那时x=x2。_ 同样对于y(t)和z(t)。

Answer 2

如果开始和结束 y 值相同，您可以使用参数方程来描述抛物线，该方程可以通过几个步骤导出。

给定startingHeight和apexHeight，

y(t) = A(t^2) + B(t) + C
y(0) = startingHeight
y(0.5) = apexHeight
y(1) = startingHeight

y(0) = startingHeight = A*0 + B*0 + C
C = startingHeight
y(t) = A(t^2) + B(t) + startingHeight

y(1) = startingHeight = A + B + startingHeight
0 = A+B
A = -B
y(t) = -B(t^2) + B(t) + startingHeight

y(0.5) = apexHeight = -B(0.25) + B(0.5) + startingHeight
apexHeight = B(0.5 - 0.25) + startingHeight
apexHeight - startingHeight = B(0.25)
B = (apexHeight - startingHeight)/4.0

现在您知道了 A、B 和 C，您可以为 y 编写方法：

function y(startingHeight, apexHeight, t){
    B = (apexHeight - startingHeight) / 4;
    A = -B;
    C = startingHeight;
    return A*t*t + B*t + C;
}

x 和 z 更容易，因为它们只是从头到尾线性增加：

x(t) = At + B
x(0) = startX
x(1) = endX

x(0) = startX = A*0 + B
B = startX
x(t) = At + startX

x(1) = endX = A*1 + startX
A = endX - startX

x(t) = (endX - startX) * t + startX

（z 有一个与 x 相同的公式 - 只需将所有 x 替换为 z）

function x(start, end, t){
    A = (end - start);
    B = start;
    return A*t + B;
}

function z(start, end, t){
    A = (end - start);
    B = start;
    return A*t + B;
}

现在您可以在时间 t 找到棋子的 3d 位置：

function parabola(xBegin, xEnd, zBegin, zEnd, yStart, yApex, t){
    return [x(xBegin,xEnd,t), y(yStart,yApex,t), z(zBegin,zEnd,t)];
}