math - 如何求解非线性联立方程组（在 Matlab、Python 或 Fortran 中）

Question

我正在研究一个非线性联立方程组。这两个变量是 u>0 和 b>0。如何在 Matlab、Python 或 Fortran 中解决这个问题？谢谢。

Answer 1

老实说，我不确定这个问题是否真的属于这里。但解决方案在理论上很简单。方程 1 可以简单地求解 b 作为 u 的函数。代入等式 2，其中 b 仅出现一位。

现在，您可以在新方程 2 上使用求根器，求解满足该关系的 u 值。给定 u 的值，您可以使用自适应数值正交例程进行积分。在 MATLAB 中，这类似于 quadgk。（不要使用 ODE 求解器，因为它们提供的信息比您需要的多。您只需要整体积分。）

但事实上，该积分中的内核是变量 t 的简单多项式，并且 u^10 是积分中的因子。因此，第一学期的微积分将手工进行积分，尽管它需要一些铅笔和纸。或者，符号工具箱就足够了。单行调用来解决在这里就足够了，尽管这会是一条很长的行，而且我懒得写它。

说了这么多，请注意数值积分都会有一点问题，因为你的数字是讨厌的和巨大的，指数相当大。因此，这也意味着您非常希望象征性地解决问题。

确实，这个答案的重点是在问题上使用数值求解器是一个坏主意，尤其是当符号工具箱（或铅笔和纸！）等工具足够且可用时。

Answer 2

您可以通过求解 b 的 #1 轻松消除其中一个方程。然后用它为你解决#2。

您将不得不使用迭代方法来做到这一点：猜测一个解决方案，计算一个估计值，与您的猜测进行比较，调整并重复直到收敛。

我会使用数值积分（五阶 Runge-Kutta 或其他东西）来计算积分。