4

我知道幅度和相位是在 fft 结果的实部和虚部中捕获的。但是每个样本如何捕获阶段？

相位是否与时域提供的 N 个离散样本相关？

也就是说，如果输入样本在一秒钟内包含 44100 个样本，那么 FFT 的每个结果值是否代表相位的 1/44100？

例如，第一个 FFT 值是频率 1/44100，第二个值是 2/44100，等等？

4

4 回答 4

5

FFT 的输出简单地表达了如何从谐波相关的正弦分量之和重建原始波形。

每个输出值表示相应分量的幅度和相位（即偏移角）。重要的是要注意每个组件都是一个复杂的正弦曲线（某种形式的东西A * exp(j * 2pi * f * n + phi)，不是A * cos(2pi * f * n + phi)）。

频率隐含在输出样本的索引中；如果您的采样率fs（以 Hz 为单位）并且您有一个长度NFFT，则对应于输出样本的中心频率i为i*fs/N（以 Hz 为单位）。

于 2012-04-24T21:46:59.450 回答
4

当您在问题的某些部分中表示“频率”时，我认为您是在说“相位”？

无论如何，如果您询问频率，它的工作原理与“输入”数据中的时间非常相似。您从时间序列数据开始，其中每个数组元素都在不同的时间。在 fft 之后，“输出”是相似的，但每个元素的频率不同。

它们的范围从恒定偏移到可能的最高频率，以统一的步骤，但实际顺序可能取决于您使用的实现。所以每个复数代表一个特定频率的幅度和相位 - 您可以从输出阵列中的位置计算出频率。

如果您有 N 个覆盖时间 T 的点，则最高频率为 N/(2T)，并且值是 1/T 的倍数（包括 0Hz - 恒定偏移）。例如，1 分钟内 60 个样本（N=60 T=60s）给出 0.5Hz 的最高频率。没有更高的频率，因为数据的采样不够好，无法清楚地挑选出来（例如，1 Hz 信号在每个样本上可能处于最大值，因此会显示为恒定信号）。这个限制称为奈奎斯特频率

（上面假设输出是一个复数数组；通常它是一个浮点数/双精度数组，您需要将复数从数组不同部分的实数和虚数拼凑起来——这一切都变得有点混乱，但是这个概念与返回一个复数值数组相同）。

ps通常当我必须从某个地方使用fft例程时，我会制作一些具有恒定偏移和两个已知频率正弦波的数据，然后对其进行fft并查看结果。如果您使每个组件的幅度不同，那么通常很明显事物是如何排序的。您还可以检查比例，因为有时它具有/省略了 2pi 的因子...

于 2012-04-24T21:45:56.873 回答
4

相位与输入样本中周期性信号分量的时间偏移有关。

这是如何看待这个...

首先，回想一下Fast FT与Discrete FT完全相同，只是以更有效的方式计算。因此，回到基础，我们将转换定义为：

X k (0<=k<=N-1) = 0<=n<=N-1 的总和(x n * e -j * 2*π * n * k/N )

其中：
x n是输入样本
X k是输出/转换样本
N 是样本数

现在，这个复数指数 e -j * 2*π * n * k/N在几何上表示 Re/Im 平面中的圆（半径为 1，以 (0,0) 为中心）上的点。如果您忘记了这一点，请参阅欧拉公式。

对于一个固定值k（表示输出/变换中感兴趣的特定频率），N/k对于 all ，这个圆圈上只有不同的点n。

再看公式中的总和：

0<=n<=N-1 (x n * e -j * 2*π * n * k/N )的总和

在这个总和中，您通过输入信号 x n将矢量从点 (0,0) 缩放到圆上的上述点。您正在使这些向量更长或更短。然后你把它们加起来。

如果碰巧 x n包含一个周期为 的周期信号N/k，那么该信号的所有最大值都将在圆上的一个点对齐并相互放大。信号的最小值和所有其他值也有贡献。

简而言之，您在这里所做的是将输入 x n缠绕到圆圈上。如果信号中存在周期性分量并且其周期与“周长”（=圆上的点数）匹配，则由于对齐的最大值和最小值，您将获得该周期/频率的峰值。如果周期与“周长”不匹配，则最大值会无处不在并相互抵消。这就是傅立叶变换的精髓，这就是它的工作原理和原因，没有魔法，没有真正复杂的数学，简单地将绳子缠绕到卷轴上。

您在 X k中得到的相位只是表示圆上所有最大值对齐的点。如果您将 x n中的周期信号移动一个或几个样本，则对齐点也会移动，并且相位会相应地改变。

这就是几何解释。

现在，您可以将其视为傅里叶变换的数学属性。

如果你有你的 x n和它的变换 X k =F{x n }，那么 x n-m的变换将是 F{x n-m } = F{x n } * e -j * 2*π * k * m/ N = X k * e -j * 2*π * k * m/N。这称为移位定理/属性。您应该能够轻松得出这一结论。e -j * 2*π * k * m/N的这个因子的大小为 1，并且仅在乘以 X k时才会改变相位。

相位与频率无关。

此外，采样信号 x n的最大频率是采样率的一半（实际上，仅比一半小一点，请参阅奈奎斯特采样定理）。这意味着您的案例永远不会在 22050 Hz 或以上为您提供任何东西，因为更高频率的所有信息都已丢失到采样中。

X k值的一半将为您提供负频率的分量。那是因为当k > N/2你在圆上的点之间移动的方向反转时。因此，尽管输出/变换中有如此多的样本，但最大频率仍然小于采样率的一半。

于 2012-04-24T23:58:08.907 回答
1

FFT 结果的频率不会被结果向量中的复数捕获。倍频器由包含复数的每个数组元素的索引捕获。然后你取索引并乘以一个频率比例因子，它与时域样本的采样率以及 FFT 长度的倒数有关，得到每个 FFT bin 的中心频率。

每个 FFT 结果向量元素表示的每个频率正弦波都有自己独立的相位，不与任何其他 bin 或数组元素共享。

如果您不知道 FFT 的长度，则频率将是未知的。所以你问题最后一部分的答案可能是未知或否。

于 2012-04-24T22:39:45.517 回答