differential-equations - 二阶 ODE 未定系数

Question

这个方程可以解吗？如何？

y" = Ay + B

A 和 B 是（实）常数。我尝试做未确定的系数，但对我来说没有用。均匀的部分很容易。

谢谢。

Answer 1

您可以先假设您的解决方案具有以下形式

    y(x) = M*exp(sqrt(A)*x) + N*exp(-sqrt(A)*x) + C

因为指数部分是齐次方程的解。

现在我们可以将其代入微分方程并尝试求解 C。

    y" = M*A*exp(sqrt(A)*x) + N*A*exp(-sqrt(A)*x)
    M*A*exp(sqrt(A)*x) + N*A*exp(-sqrt(A)*x) = 
        A*(M*exp(sqrt(A)*x) + N*exp(-sqrt(A)*x) + C) + B
    0 = A*C + B
    C = -B/A.

所以：

    y = M*exp(sqrt(A)*x) + N*exp(-sqrt(A)*x) - B/A.

这个例子很有效，因为它只是添加到我们的方程中的一个常数，但是，一旦你得到了相应齐次方程的解，其他非齐次微分方程仍然可以使用格林函数求解。