在开始之前让我说：这不是家庭作业，只是简单、古老、有趣。
现在，我正在尝试提出一个可以回答这个问题的算法1/x + 1/y = 1/n！.
正如您在上面的链接中看到的那样，作者只要求提示而不是实际答案，所以我也很乐意提出同样的要求。
我简化了表达式，直到 (x - n!)(y - n!) = (n!)^2 正如其中一个答案所建议的那样，到那时我才明白 (x,y) 对的组合数与 n!^2 的除数相同（如果我在这里错了，请纠正我）。
因此，正如接受的答案所建议的那样，我试图得到构成 N!^2 的每个素数的所有因子的乘法。
我用 C 语言编写了一些代码，使用试除法分解 N!^2 和Eratosthenes 的筛子，使所有素数达到 sqrt(N!^2)。
现在的问题是内存，我尝试过使用 N = 15，而我的 Mac（四核 6GB 内存）几乎死在我身上。问题是记忆。所以我添加了一些 printf 并尝试使用 N=11：
Sieve of Eratosthenes took 13339.910000 ms and used 152 mb of memory
n= 11; n!^2 = 1593350922240000; d = 6885
[2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,5,5,5,5,7,7,11,11]
该列表是 N!^2 的所有主要因素（当然除了 1 和 N!^2）。
我想要一些关于如何最小化内存消耗和可能的优化的提示。
下面的代码，这只是一个快速的实验，所以我相信它可以被优化。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <strings.h>
#include <sys/time.h>
#include <assert.h>
//Linked List
struct node {
struct node * next;
long val;
};
void addValue(struct node *list, long val) {
struct node *n = list;
if (n->val == -1) {
n->val = val;
return;
}
while (n->next) {
n = n->next;
}
struct node *newNode = malloc(sizeof(struct node));
newNode->val = val;
newNode->next = NULL;
n->next = newNode;
}
void freeLinkedList(struct node *list) {
struct node *c = list;
if (!c) return;
struct node *n = c->next;
free(c);
freeLinkedList(n);
}
void printList(struct node *list) {
struct node *n = list;
printf("[");
while (n) {
printf("%ld", n->val);
n = n->next;
if (n) {
printf(",");
}
}
printf("]\n");
}
//-----------
int fac(int n) {
if (n == 1) return 1;
return fac(n-1)*n;
}
//Sieve of Eratosthenes
int sieve_primes(long limit, long **list) {
struct timeval t1;
struct timeval t2;
double elapsedTime = 0;
gettimeofday(&t1, NULL);
assert(limit > 0);
//Create a list of consecutive integers from 2 to n: (2, 3, 4, ..., n).
long arrSize = limit-1;
long *arr = malloc(sizeof(long)*arrSize);
long c = 2;
for (long i = 0; i < arrSize; i++) {
arr[i] = c++;
}
assert(arr[arrSize-1] == limit);
for (long i = 0; i < arrSize; i++) {
//Let p be equal to the first number not crossed
long p = arr[i];
if (p == 0) continue;
//Starting from p, count up in increments of p and mark each of these numbers greater than p itself in the list.
for (long f = p+p; f < arrSize; f+=p) {
arr[f] = 0;
}
}
*list = arr;
gettimeofday(&t2, NULL);
elapsedTime = (t2.tv_sec - t1.tv_sec) * 1000.0; // sec to ms
elapsedTime += (t2.tv_usec - t1.tv_usec) / 1000.0; // us to ms
printf("Sieve of Eratosthenes took %f ms and used %lu mb of memory\n",elapsedTime, (arrSize * sizeof(int))/1024/1024);
return arrSize;
}
void trial_division(struct node* list, long n) { if (n == 1) {
addValue(list, 1);
return;
}
long *primes;
long primesSize = sieve_primes(sqrt(n), &primes);
struct timeval t1;
struct timeval t2;
double elapsedTime = 0;
gettimeofday(&t1, NULL);
for (long i = 0; i < primesSize; i++) {
long p = primes[i];
if (p == 0) continue;
if (p*p > n) break;
while (n % p == 0) {
addValue(list, p);
n/=p;
}
}
if (n > 1) {
addValue(list, n);
}
free(primes);
}
int main(int argc, char *argv[]) {
struct node *linkedList = malloc(sizeof(struct node));
linkedList->val = -1;
linkedList->next = NULL;
long n = 11;
long nF = fac(n);
long nF2 = nF*nF;
trial_division(linkedList, nF2);
long multOfAllPrimeFactors = 1;
struct node *c = linkedList;
while (c) {
long sumOfVal = 2;
long val = c->val;
c = c->next;
while(c) {
long val2 = c->val;
if (val == val2) {
sumOfVal++;
c = c->next;
} else break;
}
multOfAllPrimeFactors*=sumOfVal;
}
printf("n= %ld; n!^2 = %ld; d = %ld\n", n,nF2, multOfAllPrimeFactors);
printList(linkedList);
freeLinkedList(linkedList);
}
编辑：
作为一个例子，我将向您展示获得初始方程的所有可能正整数解的计算：
3!^2 = 36 = (3^2*2^2*1^0)
所以丢番图方程有 (1+2)(1+2)(1+0)=9 个可能的正整数解。如果计算负整数，则加倍。可以肯定的是，我正在使用WolframAlpha 。
编辑2：
我想我刚刚发现“什么是阶乘”，我得到了这个非常有趣的输出：
3! = [2,3]
3!^2 = [2,2,3,3]
3!^3 = [2,2,2,3,3,3]
3!^4 = [2,2,2,2,3,3,3,3]
感谢：D