(t, x)我正在使用 MATHEMATICA 在具有周期性或自由边界条件的方形域上求解时间和空间中的四阶非线性偏微分方程。
如果不使用保形映射，我可以使用边缘或角落的哪些边界条件使方形域“看起来”像我的笛卡尔非线性偏微分方程的圆形域？
我不想使用的选项是：
- 保形映射
- 将我的方程更改为极坐标/圆柱坐标？
这是我纯粹出于兴趣而追求的东西，以防万一有人被误解为家庭作业问题而尖叫血腥谋杀！:P
问问题
898 次
1 回答
5
这个问题是在人们发现世界是球形的时候提出的。他们想制作世界表面的矩形地图……
这不可能。
不可能的原因是球体具有固有曲率，而立方体/平行六面体则没有。可以证明，对于具有不同固有曲率的两个元素，它们的表面不能被映射，同时保持恒定的无穷小距离，或者两点之间的距离由欧几里德距离给出。
理解这个问题的最简单方法是挑选一些矩形纸，并尝试将其制成一个球体，而不是局部拉伸或压缩它（你可以折叠）。你不能。另一方面，您可以制作圆柱面，因为圆柱体也没有固有曲率。
在地图中，人们通常使用以下两个选项之一：
用一个切平面逼近球体的局部表面，并用它制作一个矩形。（某地区的当地地图）
制作世界地图，但在各处实施一些曲线，以标识必须根据这些线制作测量距离。
这也是为什么从欧洲飞往北美时飞机似乎总是试图在加拿大附近通过的主要原因。如果我们测量与矩形地图的距离，我们会看到它们应该沿着一条直线走以最小化距离。然而，因为我们正在绘制两个不同的内在曲率，所以必须以不同的方式测量实际距离（而不是通过直线）。
对于 2D（实际上对于 nD），同样的推理适用。
于 2012-02-26T07:23:41.567 回答