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我有floor(sqrt(floor(x)))。这是真的：

  1. 内部floor是多余的。
  2. 外部floor是多余的。
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9 回答 9

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显然外层不是多余的，因为例如sqrt(2)不是整数，因此floor(sqrt(2))≠sqrt(2).

sqrt(floor(x))≠sqrt(x)对于非整数也很容易看出这一点x。因为sqrt是单调函数。

我们需要找出是否floor(sqrt(floor(x)))==floor(sqrt(x))适用于所有有理数（或实数）。

让我们证明如果sqrt(n)<m那么sqrt(n+1)<m+1，对于整数m,n。很容易看出

n<m^2 ⇒ n+1 < m^2+1 < m^2+2m+1 = (m+1)^2

因此，由于sqrt是 montone，我们有

sqrt(n) < m -> sqrt(n+1) < m+1 -> sqrt(n+eps)<m+1 for 0<=eps<1

因此floor(sqrt(n))=floor(sqrt(n+eps))对于 all0<eps<1和 integer n。否则假设floor(sqrt(n))=mand floor(sqrt(n+eps))=m+1，并且你有一个案例 wheresqrt(n)<m+1然而sqrt(n+eps)>=m+1。

因此，假设floor需要外部，内部floor是多余的。

换句话说，它总是正确的

floor(sqrt(n)) == floor(sqrt(floor(n)))

内在ceil呢？

很容易看出这一点floor(sqrt(n)) ≠ floor(sqrt(ceil(n)))。例如

floor(sqrt(0.001))=0, while floor(sqrt(1))=1

但是你可以用类似的方式证明

ceil(sqrt(n)) == ceil(sqrt(ceil(n)))
于 2009-05-17T20:39:32.260 回答
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内层是多余的，外层当然不是。

外面的不是多余的，因为如果 x 是平方数，数字 x 的平方根只会产生整数。

内部是多余的，因为区间 [x,x+1[ （其中 x 是整数）中的任何数字的平方根始终位于区间 [floor(sqrt(x)),ceil(sqrt(x) )[ 因此，如果您只对结果的整数部分感兴趣，则无需在取其平方根之前对数字求底。

于 2009-05-17T20:40:29.887 回答
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直觉上我相信内在的是多余的，但我无法证明这一点。

除非你能提供一个证明我错的 x 值，否则你不能投票给我。8-)

编辑：请参阅 v3 对此答案的评论以获取证据 - 谢谢，v3！

于 2009-05-17T20:14:00.683 回答
4

内层是多余的

于 2009-05-17T20:09:29.057 回答
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内层是多余的。反证法：

假设内层不是多余的。这将意味着：

floor(sqrt(x)) != floor(sqrt(x+d))

对于某些 x 和 d，其中 floor(x) = floor(x+d)。然后我们要考虑三个数字：a = sqrt(x)，b = floor(sqrt(x+d))，c = sqrt(x+d)。b 是一个整数，a < b < c。这意味着 a^2 < b^2 < c^2，或 x < b^2 < x+d。但是如果 b 是一个整数，那么 b^2 是一个整数。因此 floor(x) < b^2，b^2 <= floor(x+d)，然后 floor(x) < floor(x+d)。但我们首先假设 floor(x) = floor(x+d)。我们遇到了矛盾，所以我们的假设是错误的，内层是多余的。

于 2009-05-17T20:40:14.847 回答
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如果 x 是整数，则内层是多余的。

如果 x 不是整数，则两者都不是多余的。

于 2009-05-17T20:12:18.067 回答
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外层不是多余的。反例：x = 2。

地板(sqrt(地板(2))) = 地板(sqrt(2)) = 地板(1.41...)

如果没有外层，结果将是 1.41...

于 2009-05-17T20:19:26.427 回答
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如果内层不是多余的，那么我们会期望 floor(sqrt(n)) != floor(sqrt(m))，其中 m = floor(n)

请注意，n - 1 < m <= n。m 总是小于或等于 n

floor(sqrt(n)) != floor(sqrt(m)) 要求 sqrt(n) 和 sqrt(m) 的值至少相差 1.0

但是，没有任何值 n 的 sqrt(n) 与 sqrt(n + 1) 相差至少 1.0，因为对于 0 和 1 之间的所有值，该值的 sqrt 根据定义小于 1。

因此，对于所有值 n，floor(sqrt(n)) == floor(sqrt(n + 1))。这与最初的假设相矛盾。

因此内层是多余的。

于 2009-05-17T20:53:54.160 回答
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如果n^2 <= x < (n+1)^2wheren是一个整数，那么

  1. n <= sqrt(x) < n+1, 所以floor(sqrt(x)) = n;
  2. n^2 <= floor(x) < (n+1)^2，如此n <= sqrt(floor(x)) < n+1，如此floor(sqrt(floor(x))) = n。

因此，floor(sqrt(floor(x))) = floor(sqrt(x))，这意味着内层是多余的。

于 2019-04-04T15:28:01.287 回答