c++ - C++ 三次样条轨迹

Question

我正在编写一个 C++ 程序来为一组点生成三次样条轨迹。这些点不需要沿 x 轴排序。例如，它可能是一个圆圈等。

我在网上找到了一些库，例如 ALGLIB 库或这里的一个类https://www.marcusbannerman.co.uk/index.php/home/42-articles/96-cubic-spline-class.html，但所有这些库都对数据点进行排序。我不需要这个，因为我想要生成的是类似于圆圈的东西。有没有办法做到这一点？

Answer 1

样条线是关于某些自变量的分段函数（通常t，尽管它们似乎x在您链接的代码中使用）。由于要评估的具体函数取决于最接近输入值的控制点，因此t对控制点进行排序是有意义的，t这样您就可以快速确定需要评估的函数。

但是，即使它们没有排序，您仍然无法使用单个一维样条线创建一个圆。您的样条函数y = f(t)只为任何给定的值提供一个值t。如果您要绘制y关于t原点的半径为 1 的圆，则需要f(0)同时等于1和-1，这没有任何意义。

要获得类似圆形的东西，您需要一个二维样条或两个样条；一个代表x价值，一个代表y价值。一旦你有了这两个样条函数f(t)和g(t)，那么你只需同时评估这两个函数，t这将为你提供样条函数的x和y值t。

Answer 2

简单而常见的技巧是使用累积线性弧长作为参数。因此，如果我在一条曲线中有一组点作为平面中的 (x,y) 对，其中 x 和 y 是向量，请执行以下操作：

t = cumsum([0;sqrt(diff(x(:)).^2 + diff(y(:)).^2)]);

这为我们提供了沿每对点之间分段线性段的累积距离，按照您拥有它们的顺序显示。将样条曲线拟合为两个独立的样条模型，即 x(t) 和 y(t)。所以你可以使用 interp1，或者直接使用 spline 或 pchip 函数。请注意，当您构建该插值时， pchip 和 spline 将具有不同的属性。

最后，如果您确实有一条闭合曲线，因此 x(1) 和 x(end) 应该是相同的，那么您真的会想要使用具有周期性结束条件的样条模型。除了我的SLM 工具中的样条模型外，我不知道有任何实现，但理论上不难做到。