math - 如何计算多面体的质量和转动惯量？

Question

为了在刚体模拟中使用，我想计算质量和惯性张量（惯性矩），给定一个三角形网格表示（不一定是凸的）对象的边界，并假设内部的密度恒定。

Answer 1

假设您的修剪是封闭的（无论是否凸出），有一种方法！

正如 dmckee 指出的那样，一般的方法是从每个表面三角形构建四面体，然后应用显而易见的数学计算每个 tet 的质量和力矩贡献。当从任何参考点观察时，当身体表面有凹面时，技巧就出现了，这些凹面会形成内部口袋。

所以，开始时，选择一些参考点（模型坐标中的原点可以正常工作），它甚至不需要在身体内部。对于每个三角形，将该三角形的三个点连接到参考点以形成一个四面体。诀窍是：使用三角形的表面法线来确定三角形是面向还是背离参考点（您可以通过查看法线的点积的符号和指向三角形）。如果三角形背离参考点，则正常处理其质量和力矩，但如果它面向参考点（表明参考点和实体之间存在开放空间），则否定该 tet 的结果.

实际上，这样做是过度计算体积块，然后在这些区域显示不是实体的一部分时进行纠正。如果一个身体有很多油脂状的凸缘和怪诞的褶皱（有那个图像吗？），一个特定的体积可能会被一个很大的因素高估，但如果你的网格是，它会被减去足够的时间来抵消它关闭。以这种方式工作，您甚至可以处理对象中的内部空间气泡（假设法线设置正确）。最重要的是，每个三角形都可以独立处理，因此您可以随意并行化。享受！

事后思考：您可能想知道当该点积给您的值为零或接近零时会发生什么。这只发生在三角形面平行（其法线垂直）指向参考点的方向时——这只会发生在面积小或为零的退化 tets 上。也就是说，增加或减去 tet 的贡献的决定只有在 tet 无论如何都不打算贡献任何东西时才值得怀疑。

Answer 2

将您的对象分解为一组围绕选定内部点的四面体。（即使用每个三角形面元素和所选中心的实体。）

您应该能够查看每个元素的体积。惯性矩也应该可用。

如果表面是非凸的，那就更麻烦了。

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我似乎记错了命名法，而 skew 不是我想要的形容词。我的意思是非常规。

Answer 3

这在 D. Eberly 的“游戏物理学，第二版”一书中有所介绍。第2.5.5 章和示例代码可在线获取。（刚找到，还没试过。）

另请注意，多面体不必是凸的公式才能起作用，它只需简单。

Answer 4

我会看看vtkMassProperties。 给定一个包含一个体积的表面，这是一个相当稳健的计算算法。

Answer 5

如果您的多面体很复杂，请考虑使用蒙特卡罗积分，该积分通常用于多维积分。您将需要一个封闭的超立方体，并且您将需要能够测试给定点是在多面体内部还是外部。您需要耐心等待，因为蒙特卡洛积分很慢。

像往常一样从 Wikipedia 开始，然后按照外部链接页面进行进一步阅读。

（对于那些不熟悉蒙特卡洛积分的人，这里是计算质量的方法。在包含的超立方体中选择一个点。添加到point_total计数器中。它在多面体中吗？如果是，添加到point_internal计数器中。做这个很多（见收敛和误差范围估计。）然后

mass_polyhedron/mass_hypercube \approx points_internal/points_total.

对于惯性矩，您可以通过点到参考轴的距离的平方对每个计数进行加权。

棘手的部分是测试一个点是在多面体内部还是外部。我确信有计算几何算法。