我有四个 2d 点，p0 = (x0,y0), p1 = (x1,y1) 等，它们形成一个四边形。就我而言，四边形不是矩形，但至少应该是凸的。
p2 --- p3
| |
t | p |
| |
p0 --- p1
s
我正在使用双线性插值。S 和 T 在 [0..1] 范围内，插值点由下式给出：
bilerp(s,t) = t*(s*p3+(1-s)*p2) + (1-t)*(s*p1+(1-s)*p0)
这是问题所在。我有一个二维点 p，我知道它在四边形内。我想找到在使用双线性插值时会给我那个点的 s,t。
是否有一个简单的公式来反转双线性插值？
感谢您的解决方案。我将 Naaff 解决方案的实现发布为 wiki。
我认为最容易将您的问题视为相交问题：点 p 与由 p0、p1、p2 和 p3 定义的任意二维双线性曲面相交的参数位置 (s,t) 是什么。
我将采取的解决这个问题的方法类似于 tspauld 的建议。
从关于 x 和 y 的两个方程开始：
x = (1-s)*( (1-t)*x0 + t*x2 ) + s*( (1-t)*x1 + t*x3 )
y = (1-s)*( (1-t)*y0 + t*y2 ) + s*( (1-t)*y1 + t*y3 )
求解 t：
t = ( (1-s)*(x0-x) + s*(x1-x) ) / ( (1-s)*(x0-x2) + s*(x1-x3) )
t = ( (1-s)*(y0-y) + s*(y1-y) ) / ( (1-s)*(y0-y2) + s*(y1-y3) )
我们现在可以设置这两个方程彼此相等以消除 t。将所有内容移至左侧并简化我们得到以下形式的方程：
A*(1-s)^2 + B*2s(1-s) + C*s^2 = 0
在哪里：
A = (p0-p) X (p0-p2)
B = ( (p0-p) X (p1-p3) + (p1-p) X (p0-p2) ) / 2
C = (p1-p) X (p1-p3)
请注意，我使用运算符 X 来表示二维叉积（例如，p0 X p1 = x0*y1 - y0*x1）。我已将此方程格式化为二次伯恩斯坦多项式，因为这使事情更优雅并且在数值上更稳定。s 的解是这个方程的根。我们可以使用 Bernstein 多项式的二次公式求根：
s = ( (A-B) +- sqrt(B^2 - A*C) ) / ( A - 2*B + C )
由于 +-，二次公式给出了两个答案。如果您只对 p 位于双线性曲面内的解感兴趣，那么您可以丢弃 s 不在 0 和 1 之间的任何答案。要找到 t，只需将 s 代入上面我们求解 t 的两个方程之一就 s 而言。
我应该指出一个重要的特殊情况。如果分母 A - 2*B + C = 0 那么你的二次多项式实际上是线性的。在这种情况下，您必须使用更简单的方程来找到 s：
s = A / (A-C)
除非 AC = 0，否则这将为您提供一个解决方案。如果 A = C，那么您有两种情况：A=C=0 表示s 的所有值都包含 p，否则s 的值不包含 p。
可以使用牛顿法迭代求解以下非线性方程组：
p = p0*(1-s)*(1-t) + p1*s*(1-t) + p2*s*t + p3*(1-s)*t.
请注意，有两个方程（方程的 x 和 y 分量相等）和两个未知数（s 和 t）。
要应用牛顿法，我们需要残差r，即：
r = p - (p0*(1-s)*(1-t) + p1*s*(1-t) + p2*s*t + p3*(1-s)*t),
和雅可比矩阵J，它是通过对残差进行微分得到的。对于我们的问题，雅可比行列式是：
J(:,1) = dr/ds = -p0*(1-t) + p1*(1-t) + p2*t - p3*t (first column of matrix)
J(:,2) = dr/dt = -p0*(1-s) - p1*s + p2*s + p3*(1-s) (second column).
要使用牛顿法，首先要进行初始猜测 (s,t)，然后执行以下迭代几次：
(s,t) = (s,t) - J^-1 r,
使用新的 s 和 t 值在每次迭代中重新计算 J 和 r。在每次迭代中，主要成本是将雅可比矩阵的逆应用于残差 (J^-1 r)，方法是求解一个 2x2 线性系统，其中 J 作为系数矩阵，r 作为右手边。
该方法的直觉：
直观地说，如果四边形是平行四边形，解决问题会容易得多。牛顿的方法是用连续的平行四边形近似来解决四边形问题。在每次迭代中，我们
使用点 (s,t) 处的局部导数信息用平行四边形逼近四边形。
通过求解线性系统，在平行四边形近似下找到正确的 (s,t) 值。
跳到这个新点并重复。
该方法的优点：
正如对牛顿型方法所预期的那样，收敛速度非常快。随着迭代的进行，不仅方法越来越接近真实点，而且局部平行四边形近似也变得更加准确，因此收敛速度本身也增加了（在迭代方法行话中，我们说牛顿法是二次收敛）。在实践中，这意味着每次迭代时正确数字的数量大约翻倍。
这是我进行的随机试验的迭代与错误的代表性表（代码见下文）：
Iteration Error
1 0.0610
2 9.8914e-04
3 2.6872e-07
4 1.9810e-14
5 5.5511e-17 (machine epsilon)
经过两次迭代后，误差小到足以有效地忽略不计，并且对于大多数实际目的来说足够好，并且经过 5 次迭代后，结果精确到机器精度的极限。
如果您固定迭代次数（例如，对于大多数实际应用，3 次迭代，如果您需要非常高的准确度，则为 8 次迭代），那么该算法的逻辑非常简单明了，其结构非常适合高-性能计算。无需检查各种特殊的边缘情况*，并根据结果使用不同的逻辑。它只是一个包含一些简单公式的 for 循环。下面我强调了这种方法相对于在此处和互联网上的其他答案中找到的基于公式的传统方法的几个优点：
易于编码。只需创建一个 for 循环并输入一些公式。
没有条件或分支（if/then），这通常允许更好的流水线效率。
没有平方根，每次迭代只需要 1 个除法（如果写得好）。所有其他操作都是简单的加法、减法和乘法。平方根和除法通常比加法/乘法/乘法慢几倍，并且可能会破坏某些架构上的缓存效率（尤其是在某些嵌入式系统上）。实际上，如果您深入了解现代编程语言如何实际计算平方根和除法，它们都使用牛顿方法的变体，有时在硬件中，有时在软件中，具体取决于架构。
可以很容易地矢量化以同时处理具有大量四边形的数组。有关如何执行此操作的示例，请参见下面的矢量化代码。
扩展到任意维度。该算法以一种直接的方式扩展到任意维数（2d、3d、4d、...）中的逆多线性插值。我在下面包含了一个 3D 版本，可以想象编写一个简单的递归版本，或者使用自动微分库去 n 维。牛顿方法通常表现出与维度无关的收敛速度，因此原则上该方法应该在当前硬件上可扩展到几千维（！）（在此之后，构建和求解 n×n 矩阵 J 可能是限制因素）。
当然，这些事情中的大多数还取决于硬件、编译器和许多其他因素，因此您的里程可能会有所不同。
代码：
无论如何，这是我的 Matlab 代码：（我将这里的所有内容发布到公共领域）
基本 2D 版本：
function q = bilinearInverse(p,p1,p2,p3,p4,iter)
%Computes the inverse of the bilinear map from [0,1]^2 to the convex
% quadrilateral defined by the ordered points p1 -> p2 -> p3 -> p4 -> p1.
%Uses Newton's method. Inputs must be column vectors.
q = [0.5; 0.5]; %initial guess
for k=1:iter
s = q(1);
t = q(2);
r = p1*(1-s)*(1-t) + p2*s*(1-t) + p3*s*t + p4*(1-s)*t - p;%residual
Js = -p1*(1-t) + p2*(1-t) + p3*t - p4*t; %dr/ds
Jt = -p1*(1-s) - p2*s + p3*s + p4*(1-s); %dr/dt
J = [Js,Jt];
q = q - J\r;
q = max(min(q,1),0);
end
end
示例用法：
% Test_bilinearInverse.m
p1=[0.1;-0.1];
p2=[2.2;-0.9];
p3=[1.75;2.3];
p4=[-1.2;1.1];
q0 = rand(2,1);
s0 = q0(1);
t0 = q0(2);
p = p1*(1-s0)*(1-t0) + p2*s0*(1-t0) + p3*s0*t0 + p4*(1-s0)*t0;
iter=5;
q = bilinearInverse(p,p1,p2,p3,p4,iter);
err = norm(q0-q);
disp(['Error after ',num2str(iter), ' iterations: ', num2str(err)])
示例输出：
>> test_bilinearInverse
Error after 5 iterations: 1.5701e-16
快速矢量化 2D 版本：
function [ss,tt] = bilinearInverseFast(px,py, p1x,p1y, p2x,p2y, p3x,p3y, p4x,p4y, iter)
%Computes the inverse of the bilinear map from [0,1]^2 to the convex
% quadrilateral defined by the ordered points p1 -> p2 -> p3 -> p4 -> p1,
% where the p1x is the x-coordinate of p1, p1y is the y-coordinate, etc.
% Vectorized: if you have a lot of quadrilaterals and
% points to interpolate, then p1x(k) is the x-coordinate of point p1 on the
% k'th quadrilateral, and so forth.
%Uses Newton's method. Inputs must be column vectors.
ss = 0.5 * ones(length(px),1);
tt = 0.5 * ones(length(py),1);
for k=1:iter
r1 = p1x.*(1-ss).*(1-tt) + p2x.*ss.*(1-tt) + p3x.*ss.*tt + p4x.*(1-ss).*tt - px;%residual
r2 = p1y.*(1-ss).*(1-tt) + p2y.*ss.*(1-tt) + p3y.*ss.*tt + p4y.*(1-ss).*tt - py;%residual
J11 = -p1x.*(1-tt) + p2x.*(1-tt) + p3x.*tt - p4x.*tt; %dr/ds
J21 = -p1y.*(1-tt) + p2y.*(1-tt) + p3y.*tt - p4y.*tt; %dr/ds
J12 = -p1x.*(1-ss) - p2x.*ss + p3x.*ss + p4x.*(1-ss); %dr/dt
J22 = -p1y.*(1-ss) - p2y.*ss + p3y.*ss + p4y.*(1-ss); %dr/dt
inv_detJ = 1./(J11.*J22 - J12.*J21);
ss = ss - inv_detJ.*(J22.*r1 - J12.*r2);
tt = tt - inv_detJ.*(-J21.*r1 + J11.*r2);
ss = min(max(ss, 0),1);
tt = min(max(tt, 0),1);
end
end
为了加快速度，此代码隐含地使用以下公式计算 2x2 矩阵的逆：
[a,b;c,d]^-1 = (1/(ad-bc))[d, -b; -c, a]
示例用法：
% test_bilinearInverseFast.m
n_quads = 1e6; % 1 million quads
iter = 8;
% Make random quadrilaterals, ensuring points are ordered convex-ly
n_randpts = 4;
pp_xx = zeros(n_randpts,n_quads);
pp_yy = zeros(n_randpts,n_quads);
disp('Generating convex point ordering (may take some time).')
for k=1:n_quads
while true
p_xx = randn(4,1);
p_yy = randn(4,1);
conv_inds = convhull(p_xx, p_yy);
if length(conv_inds) == 5
break
end
end
pp_xx(1:4,k) = p_xx(conv_inds(1:end-1));
pp_yy(1:4,k) = p_yy(conv_inds(1:end-1));
end
pp1x = pp_xx(1,:);
pp1y = pp_yy(1,:);
pp2x = pp_xx(2,:);
pp2y = pp_yy(2,:);
pp3x = pp_xx(3,:);
pp3y = pp_yy(3,:);
pp4x = pp_xx(4,:);
pp4y = pp_yy(4,:);
% Make random interior points
ss0 = rand(1,n_quads);
tt0 = rand(1,n_quads);
ppx = pp1x.*(1-ss0).*(1-tt0) + pp2x.*ss0.*(1-tt0) + pp3x.*ss0.*tt0 + pp4x.*(1-ss0).*tt0;
ppy = pp1y.*(1-ss0).*(1-tt0) + pp2y.*ss0.*(1-tt0) + pp3y.*ss0.*tt0 + pp4y.*(1-ss0).*tt0;
pp = [ppx; ppy];
% Run fast inverse bilinear interpolation code:
disp('Running inverse bilinear interpolation.')
tic
[ss,tt] = bilinearInverseFast(ppx,ppy, pp1x,pp1y, pp2x,pp2y, pp3x,pp3y, pp4x,pp4y, 10);
time_elapsed = toc;
disp(['Number of quadrilaterals: ', num2str(n_quads)])
disp(['Inverse bilinear interpolation took: ', num2str(time_elapsed), ' seconds'])
err = norm([ss0;tt0] - [ss;tt],'fro')/norm([ss0;tt0],'fro');
disp(['Error: ', num2str(err)])
示例输出：
>> test_bilinearInverseFast
Generating convex point ordering (may take some time).
Running inverse bilinear interpolation.
Number of quadrilaterals: 1000000
Inverse bilinear interpolation took: 0.5274 seconds
Error: 8.6881e-16
3D版本：
包括一些代码来显示收敛进度。
function ss = trilinearInverse(p, p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8, iter)
%Computes the inverse of the trilinear map from [0,1]^3 to the box defined
% by points p1,...,p8, where the points are ordered consistent with
% p1~(0,0,0), p2~(0,0,1), p3~(0,1,0), p4~(1,0,0), p5~(0,1,1),
% p6~(1,0,1), p7~(1,1,0), p8~(1,1,1)
%Uses Gauss-Newton method. Inputs must be column vectors.
tol = 1e-9;
ss = [0.5; 0.5; 0.5]; %initial guess
for k=1:iter
s = ss(1);
t = ss(2);
w = ss(3);
r = p1*(1-s)*(1-t)*(1-w) + p2*s*(1-t)*(1-w) + ...
p3*(1-s)*t*(1-w) + p4*(1-s)*(1-t)*w + ...
p5*s*t*(1-w) + p6*s*(1-t)*w + ...
p7*(1-s)*t*w + p8*s*t*w - p;
disp(['k= ', num2str(k), ...
', residual norm= ', num2str(norm(r)),...
', [s,t,w]= ',num2str([s,t,w])])
if (norm(r) < tol)
break
end
Js = -p1*(1-t)*(1-w) + p2*(1-t)*(1-w) + ...
-p3*t*(1-w) - p4*(1-t)*w + ...
p5*t*(1-w) + p6*(1-t)*w + ...
-p7*t*w + p8*t*w;
Jt = -p1*(1-s)*(1-w) - p2*s*(1-w) + ...
p3*(1-s)*(1-w) - p4*(1-s)*w + ...
p5*s*(1-w) - p6*s*w + ...
p7*(1-s)*w + p8*s*w;
Jw = -p1*(1-s)*(1-t) - p2*s*(1-t) + ...
-p3*(1-s)*t + p4*(1-s)*(1-t) + ...
-p5*s*t + p6*s*(1-t) + ...
p7*(1-s)*t + p8*s*t;
J = [Js,Jt,Jw];
ss = ss - J\r;
end
end
示例用法：
%test_trilinearInverse.m
h = 0.25;
p1 = [0;0;0] + h*randn(3,1);
p2 = [0;0;1] + h*randn(3,1);
p3 = [0;1;0] + h*randn(3,1);
p4 = [1;0;0] + h*randn(3,1);
p5 = [0;1;1] + h*randn(3,1);
p6 = [1;0;1] + h*randn(3,1);
p7 = [1;1;0] + h*randn(3,1);
p8 = [1;1;1] + h*randn(3,1);
s0 = rand;
t0 = rand;
w0 = rand;
p = p1*(1-s0)*(1-t0)*(1-w0) + p2*s0*(1-t0)*(1-w0) + ...
p3*(1-s0)*t0*(1-w0) + p4*(1-s0)*(1-t0)*w0 + ...
p5*s0*t0*(1-w0) + p6*s0*(1-t0)*w0 + ...
p7*(1-s0)*t0*w0 + p8*s0*t0*w0;
ss = trilinearInverse(p, p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8);
disp(['error= ', num2str(norm(ss - [s0;t0;w0]))])
示例输出：
test_trilinearInverse
k= 1, residual norm= 0.38102, [s,t,w]= 0.5 0.5 0.5
k= 2, residual norm= 0.025324, [s,t,w]= 0.37896 0.59901 0.17658
k= 3, residual norm= 0.00037108, [s,t,w]= 0.40228 0.62124 0.15398
k= 4, residual norm= 9.1441e-08, [s,t,w]= 0.40218 0.62067 0.15437
k= 5, residual norm= 3.3548e-15, [s,t,w]= 0.40218 0.62067 0.15437
error= 4.8759e-15
必须注意输入点的顺序，因为逆多线性插值仅在形状具有正体积时才明确定义，并且在 3D 中选择使形状从内向外翻转的点要容易得多。
这是我作为社区 wiki 对 Naaff 解决方案的实现。再次感谢。
这是一个 C 实现，但应该适用于 c++。它包括一个模糊测试功能。
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int equals( double a, double b, double tolerance )
{
return ( a == b ) ||
( ( a <= ( b + tolerance ) ) &&
( a >= ( b - tolerance ) ) );
}
double cross2( double x0, double y0, double x1, double y1 )
{
return x0*y1 - y0*x1;
}
int in_range( double val, double range_min, double range_max, double tol )
{
return ((val+tol) >= range_min) && ((val-tol) <= range_max);
}
/* Returns number of solutions found. If there is one valid solution, it will be put in s and t */
int inverseBilerp( double x0, double y0, double x1, double y1, double x2, double y2, double x3, double y3, double x, double y, double* sout, double* tout, double* s2out, double* t2out )
{
int t_valid, t2_valid;
double a = cross2( x0-x, y0-y, x0-x2, y0-y2 );
double b1 = cross2( x0-x, y0-y, x1-x3, y1-y3 );
double b2 = cross2( x1-x, y1-y, x0-x2, y0-y2 );
double c = cross2( x1-x, y1-y, x1-x3, y1-y3 );
double b = 0.5 * (b1 + b2);
double s, s2, t, t2;
double am2bpc = a-2*b+c;
/* this is how many valid s values we have */
int num_valid_s = 0;
if ( equals( am2bpc, 0, 1e-10 ) )
{
if ( equals( a-c, 0, 1e-10 ) )
{
/* Looks like the input is a line */
/* You could set s=0.5 and solve for t if you wanted to */
return 0;
}
s = a / (a-c);
if ( in_range( s, 0, 1, 1e-10 ) )
num_valid_s = 1;
}
else
{
double sqrtbsqmac = sqrt( b*b - a*c );
s = ((a-b) - sqrtbsqmac) / am2bpc;
s2 = ((a-b) + sqrtbsqmac) / am2bpc;
num_valid_s = 0;
if ( in_range( s, 0, 1, 1e-10 ) )
{
num_valid_s++;
if ( in_range( s2, 0, 1, 1e-10 ) )
num_valid_s++;
}
else
{
if ( in_range( s2, 0, 1, 1e-10 ) )
{
num_valid_s++;
s = s2;
}
}
}
if ( num_valid_s == 0 )
return 0;
t_valid = 0;
if ( num_valid_s >= 1 )
{
double tdenom_x = (1-s)*(x0-x2) + s*(x1-x3);
double tdenom_y = (1-s)*(y0-y2) + s*(y1-y3);
t_valid = 1;
if ( equals( tdenom_x, 0, 1e-10 ) && equals( tdenom_y, 0, 1e-10 ) )
{
t_valid = 0;
}
else
{
/* Choose the more robust denominator */
if ( fabs( tdenom_x ) > fabs( tdenom_y ) )
{
t = ( (1-s)*(x0-x) + s*(x1-x) ) / ( tdenom_x );
}
else
{
t = ( (1-s)*(y0-y) + s*(y1-y) ) / ( tdenom_y );
}
if ( !in_range( t, 0, 1, 1e-10 ) )
t_valid = 0;
}
}
/* Same thing for s2 and t2 */
t2_valid = 0;
if ( num_valid_s == 2 )
{
double tdenom_x = (1-s2)*(x0-x2) + s2*(x1-x3);
double tdenom_y = (1-s2)*(y0-y2) + s2*(y1-y3);
t2_valid = 1;
if ( equals( tdenom_x, 0, 1e-10 ) && equals( tdenom_y, 0, 1e-10 ) )
{
t2_valid = 0;
}
else
{
/* Choose the more robust denominator */
if ( fabs( tdenom_x ) > fabs( tdenom_y ) )
{
t2 = ( (1-s2)*(x0-x) + s2*(x1-x) ) / ( tdenom_x );
}
else
{
t2 = ( (1-s2)*(y0-y) + s2*(y1-y) ) / ( tdenom_y );
}
if ( !in_range( t2, 0, 1, 1e-10 ) )
t2_valid = 0;
}
}
/* Final cleanup */
if ( t2_valid && !t_valid )
{
s = s2;
t = t2;
t_valid = t2_valid;
t2_valid = 0;
}
/* Output */
if ( t_valid )
{
*sout = s;
*tout = t;
}
if ( t2_valid )
{
*s2out = s2;
*t2out = t2;
}
return t_valid + t2_valid;
}
void bilerp( double x0, double y0, double x1, double y1, double x2, double y2, double x3, double y3, double s, double t, double* x, double* y )
{
*x = t*(s*x3+(1-s)*x2) + (1-t)*(s*x1+(1-s)*x0);
*y = t*(s*y3+(1-s)*y2) + (1-t)*(s*y1+(1-s)*y0);
}
double randrange( double range_min, double range_max )
{
double range_width = range_max - range_min;
double rand01 = (rand() / (double)RAND_MAX);
return (rand01 * range_width) + range_min;
}
/* Returns number of failed trials */
int fuzzTestInvBilerp( int num_trials )
{
int num_failed = 0;
double x0, y0, x1, y1, x2, y2, x3, y3, x, y, s, t, s2, t2, orig_s, orig_t;
int num_st;
int itrial;
for ( itrial = 0; itrial < num_trials; itrial++ )
{
int failed = 0;
/* Get random positions for the corners of the quad */
x0 = randrange( -10, 10 );
y0 = randrange( -10, 10 );
x1 = randrange( -10, 10 );
y1 = randrange( -10, 10 );
x2 = randrange( -10, 10 );
y2 = randrange( -10, 10 );
x3 = randrange( -10, 10 );
y3 = randrange( -10, 10 );
/*x0 = 0, y0 = 0, x1 = 1, y1 = 0, x2 = 0, y2 = 1, x3 = 1, y3 = 1;*/
/* Get random s and t */
s = randrange( 0, 1 );
t = randrange( 0, 1 );
orig_s = s;
orig_t = t;
/* bilerp to get x and y */
bilerp( x0, y0, x1, y1, x2, y2, x3, y3, s, t, &x, &y );
/* invert */
num_st = inverseBilerp( x0, y0, x1, y1, x2, y2, x3, y3, x, y, &s, &t, &s2, &t2 );
if ( num_st == 0 )
{
failed = 1;
}
else if ( num_st == 1 )
{
if ( !(equals( orig_s, s, 1e-5 ) && equals( orig_t, t, 1e-5 )) )
failed = 1;
}
else if ( num_st == 2 )
{
if ( !((equals( orig_s, s , 1e-5 ) && equals( orig_t, t , 1e-5 )) ||
(equals( orig_s, s2, 1e-5 ) && equals( orig_t, t2, 1e-5 )) ) )
failed = 1;
}
if ( failed )
{
num_failed++;
printf("Failed trial %d\n", itrial);
}
}
return num_failed;
}
int main( int argc, char** argv )
{
int num_failed;
srand( 0 );
num_failed = fuzzTestInvBilerp( 100000000 );
printf("%d of the tests failed\n", num_failed);
getc(stdin);
return 0;
}
由于您在 2D 中工作，因此您的bilerp函数实际上是 2 个方程，x 为 1，y 为 1。它们可以改写为以下形式：
x = t * s * A.x + t * B.x + s * C.x + D.x
y = t * s * A.y + t * B.y + s * C.y + D.y
在哪里：
A = p3 - p2 - p1 + p0
B = p2 - p0
C = p1 - p0
D = p0
重写第一个方程以获得t，s代入第二个方程，然后求解s。
如果您所拥有的只是 p 的单个值，使得 p 在正方形的四个角处的最小值和最大值之间，那么不，通常不可能找到一个单一的解决方案 (s,t)，使得双线性插值器将为您提供该值。
一般来说，正方形内会有无数个解 (s,t)。它们将沿着穿过正方形的弯曲（双曲线）路径。
如果您的函数是一个值为 1 的向量，那么您在正方形的某个未知点有两个已知值？给定正方形每个角的两个参数的已知值，则可能存在解决方案，但不能保证这一点。请记住，我们可以将其视为两个独立的问题。它们中的每一个的解决方案将位于穿过正方形的双曲线轮廓线。如果这对轮廓在正方形内交叉，则存在解决方案。如果它们不交叉，则不存在解决方案。
您还询问是否存在解决问题的简单公式。对不起，但不是我看到的。正如我所说，曲线是双曲线的。
一种解决方案是切换到不同的插值方法。因此，不是双线性，而是将正方形分成一对三角形。在每个三角形内，我们现在可以使用真正的线性插值。因此，现在我们可以求解每个三角形内 2 个未知数的 2 个方程的线性系统。每个三角形可能有一个解，除了一种罕见的退化情况，即相应的分段线性轮廓线恰好重合。
有些回答稍微曲解了你的问题。IE。他们假设你得到了一个未知的插值函数的值，而不是你想要找到的 (s,t) 坐标的四边形内的插值位置 p(x,y)。这是一个更简单的问题，并且保证有一个解决方案是通过四边形的两条直线的交点。
其中一条线将穿过线段 p0p1 和 p2p3，另一条线将穿过 p0p2 和 p1p3，类似于轴对齐的情况。这些线由 p(x,y) 的位置唯一定义，并且显然会在该点相交。
仅考虑穿过 p0p1 和 p2p3 的线，我们可以想象这样的线族，对于我们选择的每个不同的 s 值，每条线都以不同的宽度切割四边形。如果我们固定一个 s 值，我们可以通过设置 t=0 和 t=1 找到两个端点。
所以首先假设该行具有以下形式： y = a0*x + b0
然后我们知道这条线的两个端点，如果我们固定一个给定的 s 值。他们是：
(1-s)p0 + (s)p1
(1-s)p2 + (s)p3
给定这两个端点，我们可以通过将它们代入线的方程来确定线族，并求解 a0 和 b0作为 s 的函数。设置 s 值会给出特定行的公式。我们现在需要的是找出这个族中的哪条线达到了我们的点 p(x,y)。只需将 p(x,y) 的坐标插入我们的直线公式，我们就可以求解 s 的目标值。
也可以采用相应的方法来找到 t。
这是我的实现......我想它比 tfiniga 快
void invbilerp( float x, float y, float x00, float x01, float x10, float x11, float y00, float y01, float y10, float y11, float [] uv ){
// substition 1 ( see. derivation )
float dx0 = x01 - x00;
float dx1 = x11 - x10;
float dy0 = y01 - y00;
float dy1 = y11 - y10;
// substitution 2 ( see. derivation )
float x00x = x00 - x;
float xd = x10 - x00;
float dxd = dx1 - dx0;
float y00y = y00 - y;
float yd = y10 - y00;
float dyd = dy1 - dy0;
// solution of quadratic equations
float c = x00x*yd - y00y*xd;
float b = dx0*yd + dyd*x00x - dy0*xd - dxd*y00y;
float a = dx0*dyd - dy0*dxd;
float D2 = b*b - 4*a*c;
float D = sqrt( D2 );
float u = (-b - D)/(2*a);
// backsubstitution of "u" to obtain "v"
float v;
float denom_x = xd + u*dxd;
float denom_y = yd + u*dyd;
if( abs(denom_x)>abs(denom_y) ){ v = -( x00x + u*dx0 )/denom_x; }else{ v = -( y00y + u*dy0 )/denom_y; }
uv[0]=u;
uv[1]=v;
/*
// do you really need second solution ?
u = (-b + D)/(2*a);
denom_x = xd + u*dxd;
denom_y = yd + u*dyd;
if( abs(denom_x)>abs(denom_y) ){ v = -( x00x + u*dx0 )/denom_x; }else{ v2 = -( y00y + u*dy0 )/denom_y; }
uv[2]=u;
uv[3]=v;
*/
}
和推导
// starting from bilinear interpolation
(1-v)*( (1-u)*x00 + u*x01 ) + v*( (1-u)*x10 + u*x11 ) - x
(1-v)*( (1-u)*y00 + u*y01 ) + v*( (1-u)*y10 + u*y11 ) - y
substition 1:
dx0 = x01 - x00
dx1 = x11 - x10
dy0 = y01 - y00
dy1 = y11 - y10
we get:
(1-v) * ( x00 + u*dx0 ) + v * ( x10 + u*dx1 ) - x = 0
(1-v) * ( y00 + u*dy0 ) + v * ( y10 + u*dy1 ) - y = 0
we are trying to extract "v" out
x00 + u*dx0 + v*( x10 - x00 + u*( dx1 - dx0 ) ) - x = 0
y00 + u*dy0 + v*( y10 - y00 + u*( dy1 - dy0 ) ) - y = 0
substition 2:
x00x = x00 - x
xd = x10 - x00
dxd = dx1 - dx0
y00y = y00 - y
yd = y10 - y00
dyd = dy1 - dy0
// much nicer
x00x + u*dx0 + v*( xd + u*dxd ) = 0
y00x + u*dy0 + v*( yd + u*dyd ) = 0
// this equations for "v" are used for back substition
v = -( x00x + u*dx0 ) / ( xd + u*dxd )
v = -( y00x + u*dy0 ) / ( yd + u*dyd )
// but for now, we eliminate "v" to get one eqution for "u"
( x00x + u*dx0 ) / ( xd + u*dxd ) = ( y00y + u*dy0 ) / ( yd + u*dyd )
put denominators to other side
( x00x + u*dx0 ) * ( yd + u*dyd ) = ( y00y + u*dy0 ) * ( xd + u*dxd )
x00x*yd + u*( dx0*yd + dyd*x00x ) + u^2* dx0*dyd = y00y*xd + u*( dy0*xd + dxd*y00y ) + u^2* dy0*dxd
// which is quadratic equation with these coefficients
c = x00x*yd - y00y*xd
b = dx0*yd + dyd*x00x - dy0*xd - dxd*y00y
a = dx0*dyd - dy0*dxd
好吧，如果 p 是一个二维点，是的，你可以很容易地得到它。在这种情况下，S 是 T 处四边形总宽度的分数分量，T 同样是 S 处四边形总高度的分数分量。
但是，如果 p 是标量，则不一定是可能的，因为双线性插值函数不一定是单片的。