python - 计算 3D（或 nD）质心的最佳方法是什么？

Question

作为工作项目的一部分，我必须计算 3D 空间中一组点的质心。现在我正在以一种看似简单但幼稚的方式来做这件事——通过取每组点的平均值，如下所示：

centroid = average(x), average(y), average(z)

其中x,y和z是浮点数数组。我似乎记得有一种方法可以获得更准确的质心，但我还没有找到一个简单的算法来做到这一点。有人有什么想法或建议吗？我为此使用 Python，但我可以改编其他语言的示例。

Answer 1

与这里的常见说法相反，有不同的方法来定义（和计算）点云的中心。您已经提出了第一个也是最常见的解决方案，我不会争辩这有什么问题：

centroid = average(x), average(y), average(z)

这里的“问题”是它会根据你的点分布“扭曲”你的中心点。例如，如果您假设所有点都在立方体或其他几何形状内，但它们中的大多数恰好位于上半部分，那么您的中心点也会朝那个方向移动。

作为替代方案，您可以在每个维度中使用数学中间值（极值的平均值）来避免这种情况：

middle = middle(x), middle(y), middle(z)

当您不太关心点的数量时，您可以使用它，但更关心全局边界框，因为这就是所有这些 - 围绕您的点的边界框的中心。

最后，您还可以median在每个维度中使用（中间的元素）：

median = median(x), median(y), median(z)

现在，这将与实际相反middle，实际上可以帮助您忽略点云中的异常值并根据点的分布找到中心点。

找到“好”中心点的更稳健的方法可能是忽略每个维度中的顶部和底部 10%，然后计算averageor median。如您所见，您可以用不同的方式定义中心点。下面我将向您展示 2 个 2D 点云的示例，并考虑到这些建议。

深蓝点是平均（平均）质心。中位数显示为绿色。中间显示为红色。在第二张图片中，您将看到我之前所说的：绿点“更接近”点云最密集的部分，而红点离它更远，考虑到最极端的边界。点云。

Answer 2

不，这是点集合质心的唯一公式。参见维基百科：http ://en.wikipedia.org/wiki/Centroid

Answer 3

您含糊地提到“一种获得更准确质心的方法”。也许您正在谈论不受异常值影响的质心。例如，美国的平均家庭收入可能非常高，因为少数非常富有的人扭曲了平均水平；他们是“异常值”。出于这个原因，统计学家改用中位数。获得中位数的一种方法是对值进行排序，然后在列表的中间选择值。

也许您正在寻找类似的东西，但对于 2D 或 3D 点。问题是，在 2D 及更高版本中，您无法排序。没有自然规律。然而，有一些方法可以消除异常值。

一种方法是找到点的凸包。凸包的所有点都在点集的“外部”。如果你这样做，并扔掉船体上的点，你将扔掉异常值，剩下的点将给出一个更具“代表性”的质心。你甚至可以多次重复这个过程，结果就像剥洋葱一样。实际上，它被称为“凸壳剥落”。

Answer 4

您可以使用提高准确度求和 - Kahan 求和 - 这就是您的想法吗？

Answer 5

可能更有效：如果您要多次计算，则可以通过保留两个常设变量来加快速度

N  # number of points
sums = dict(x=0,y=0,z=0)  # sums of the locations for each point

然后在创建或销毁点时更改 N 和总和。这会将计算的时间从 O(N) 更改为 O(1)，但每次创建、移动或销毁一个点时都会花费更多的工作。

Answer 6

“更准确的质心”我相信质心是按照您计算它的方式定义的，因此不可能有“更准确的质心”。

Answer 7

是的，这是正确的公式。

如果您有大量点，您可以利用问题的对称性（无论是圆柱、球面还是镜面）。否则，您可以从统计数据中借用并平均随机数的点，而只会出现一些错误。

Answer 8

如果您的n 维向量在列表[[a0, a1, ..., an],[b0, b1, ..., bn],[c0, c1, ..., cn]]中，只需转换要数组的列表，然后像这样计算质心：

import numpy as np

vectors = np.array(Listv)
centroid = np.mean(vectors, axis=0)

Answer 9

你说对了。您正在计算的是质心或平均向量。