vector - 如何获得映射方程斜率的矢量场

Question

嘿，所以我正在阅读 Chris Hecker 的这篇文章，其中他有一张抛物线的图像，被它的导数的矢量场包围：

然而，他从来没有提到他是如何精确地得到矢量场方程的，甚至从未说明过它。他确实说过，他通过将斜率方程 dy/dx = 2x 的解绘制为网格上每个坐标处的短向量，在图 1 中覆盖了斜率的矢量场。

如何在V = xi + yj的向量场语法中创建方程斜率的向量场

Answer 1

如果图标题为：

• 一般情况下的曲线y = x^2和矢量场dy/dx = 2xy = x^2 + C

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上图中有三个方程在起作用：

1. y = x^2- 绘制的抛物线方程 -这是一条长实线
2. y = x^2 + C- 适合向量场的所有抛物线方程 -C是一个常数。这是适合该向量场的所有抛物线的方程
3. dy/dx = 2x斜率场方程。-这是绘制的曲线和所有常数s可以绘制的所有可能曲线的斜率或导数y = x^2 + CC。

注意C是一个常数，因为y = x^2 + Cwith any的导数C是2x。所以向量场展示了如何用不同C的 s 绘制所有不同的抛物线。

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所以有两种计算向量场的方法：

1. 迭代您想要的 x 和 y 范围并计算斜率，dy/dx在这种情况下2x独立y于每个点。这就是作者的做法。
2. C通过在所需范围内缓慢变化来绘制一堆抛物线y = x^2 + C- 比如说 -x计算y。

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Answer 2

对于微分方程 dy/dx = f(x,y)（例如，在这种情况下 dy/dx = 2x，其中 f(x,y) = 2x），矢量场 ( F ) 将为F = i + f (x,y) j（所以在你的情况下，F = i + 2x j）