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仍然是 Mathematica 语法的新手。当我做：

DSolve[{
  D[u[x, t], {x, 2}] == (1/(v*v))*D[u[x, t], {t, 2}],
  u[0, t] == 0,
  u[l, 0] == 0
  }, u, {x, t}]

它只是返回我输入的内容

DSolve[{(u^(2,0))[x,t]==(u^(0,2))[x,t]/v^2,u[0,t]==0,u[l,0]==0},u,{x,t}]

但是，当我删除边界条件时，我得到

{{u->Function[{x,t},C[1][t-(Sqrt[v^2] x)/v^2]+C[2][t+(Sqrt[v^2] x)/v^2]]}}

用 C[1] 和 C[2] 表示边界条件的函数。

有谁知道为什么会这样？

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2 回答 2

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2件事：

  1. 您不需要更多的边界和初始条件而不是 2 个吗？您在左侧和右侧有二阶导数，每个都需要 2 个条件。因此总数为 4。请参阅http://mathworld.wolfram.com/WaveEquation1-Dimensional.html

  2. 我不认为 DSolve 或 NDSolve 可以解决初值和边值问题？我似乎在某个地方读过这篇文章。现在没时间检查。

于 2011-09-21T23:12:55.933 回答
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我认为 Mathematica 不知道如何处理2nd order PDEs的这些边界条件。您希望如何返回答案？作为一般的傅立叶级数？

Mathematica Cookbook（可能还有其他地方）中提到了这一点......

分解 Mathematica 的问题（使用维度因子v->1），您会发现

In[1]:= genSoln = DSolve[D[u[x, t], {x, 2}] == D[u[x, t], {t, 2}], u, {x, t}] // First
Out[1]= {u -> Function[{x, t}, C[1][t - x] + C[2][t + x]]}

In[2]:= Solve[u[0, t] == 0 /. genSoln]
Out[2]= {{C[1][t] -> -C[2][t]}}

In[3]:= u[l, 0] == 0 /. genSoln /. C[1][x_] :> -C[2][x] // Simplify
Out[3]= C[2][-l] == C[2][l]

解决方案被写为f(t-x)-f(t+x)wheref是周期性的[-l,l]...

如果不对解决方案的平滑度做出假设，您将无法再做任何事情。

您可以检查标准傅里叶级数方法是否可行，例如

In[4]:= f[x_, t_] := Sin[n Pi (t + x)/l] - Sin[n Pi (t - x)/l]

In[5]:= And[D[u[x, t], {x, 2}] == D[u[x, t], {t, 2}], 
              u[0, t] == 0, u[l, 0] == 0] /. u -> f // Reduce[#, n] & // Simplify

Out[5]= C[1] \[Element] Integers && (n == 2 C[1] || n == 1 + 2 C[1])
于 2011-09-21T23:24:35.273 回答