给定一个包含重复元素的集合** S，如何确定 S 的所有可能子集的总数，其中每个子集都是唯一的。
例如，假设 S = {A, B, B} 并设 K 为所有子集的集合，则 K = {{}, {A}, {B}, {A, B}, {B, B}, {A, B, B}} 因此 |K| = 6。
另一个例子是如果 S = {A, A, B, B}，那么 K = {{}, {A}, {B}, {A, B}, {A, A}, {B, B}, {A, B, B}, {A, A, B}, {A, A, B, B}} 和因此 |K| = 9
很容易看出，如果 S 是一个只有唯一元素的实集，那么 |K| = 2^|S|。
计算这个值的公式是什么|K| 给定一个“集合”S（有重复项），而不生成所有子集？
** 从技术上讲不是一套。
取所有（频率 + 1）的乘积。
例如，在 {A,B,B} 中，答案是 (1+1) [As 的数量] * (2+1) [Bs 的数量] = 6。
在第二个示例中，count(A) = 2 和 count(B) = 2。因此答案是 (2+1) * (2+1) = 9。
这样做的原因是您可以将任何子集定义为计数向量 - 对于 {A,B,B}，子集可以描述为 {A=0,B=0}, {A=0,B=1 }、{0,2}、{1,0}、{1,1}、{1,2}。
对于 counts[] 中的每个数字，都有（该对象的频率 + 1）可能的值。（0..频率）
因此，可能性的总数是所有（频率+1）的乘积。
“所有唯一”的情况也可以这样解释——每个对象出现一次，所以答案是 (1+1)^|S| = 2^|S|。
我会争辩说，如果以正确的方式来看，这个问题很容易解决。你不关心元素的顺序，只关心它们是否出现在一个子集中。
计算每个元素在集合中出现的次数。对于一个元素集{A}，有多少个子集？显然只有两套。现在假设我们添加了另一个不同于 A 的元素 B，以形成集合 {A,B}。我们可以很容易地形成所有集合的列表。取出我们仅使用 A 形成的所有集合，并添加零个或一个 B 副本。实际上，我们将集合的数量加倍。显然，我们可以使用归纳法来证明对于 N 个不同的元素，集合的总数仅为 2^N。
假设某些元素出现多次？考虑具有三个 A 副本的集合。因此 {A,A,A}。你能形成多少个子集？同样，这很简单。我们可以有 A 的 0、1、2 或 3 个副本，因此子集的总数为 4，因为顺序无关紧要。
一般来说，对于元素 A 的 N 个副本，我们最终会得到 N+1 个可能的子集。现在，通过添加一些数量 M 的 B 副本来扩展它。所以我们有 A 的 N 个副本和 B 的 M 个副本。总共有多少个子集？是的，这似乎也很清楚。对于其中只有 A 的每个可能子集（其中有 N+1 个），我们可以添加 B 的 0 到 M 个副本。
因此，当我们有 N 个 A 副本和 M 个 B 副本时，子集的总数很简单。它必须是 (N+1)*(M+1)。同样，我们可以使用归纳论证来证明子集的总数是这些项的乘积。只需计算每个不同元素的重复总数，加 1，然后取乘积。
看看集合 {A,B,B} 会发生什么。我们得到 2*3 = 6。
对于集合 {A,A,B,B}，我们得到 3*3 = 9。