math - 求解递推关系 T(n) = √n T(√n) + n

Question

是否可以解决递归关系

T(n) = √n T(√n) + n

使用主定理？它不是形式

T(n) = a ⋅ T(n / b) + f(n)

但是这个问题是在 CLRS 第 4 章的练习中给出的。

Answer 1

这是主定理无法解决的。但是，它可以使用递归树方法解决，以解决 O(n log log n)。

这背后的直觉是注意到在树的每一层，你都在做 n 工作。顶层没有明确地工作。√n 个子问题中的每一个确实 √n 个工作，总共有 n 个工作，等等。所以现在的问题是递归树有多深。嗯，这就是在 n 变得足够小（例如，小于 2）之前，您可以取 n 的平方根的次数。如果我们写

n = 2 ^{lg n}

然后在每次递归调用时，n 都会取其平方根。这相当于将上述指数减半，所以在 k 次迭代之后，我们有

n ^{1/(2 k )} = 2 ^{lg n/(2 k )}

我们想在小于 2 时停止，给出

2 ^{lg n/(2 k )} = 2

lg n/(2 ^k ) = 1

lg n = 2 ^k

lg lg n = k

因此，在平方根的 lg lg n 次迭代之后，递归停止。而且，由于在每个级别递归都 O(n) 工作，总运行时间为 O(n lg lg n)。

更一般地说，就像任何反复将其输入大小减半的算法都应该让您想到“log n”一样，任何通过取平方根反复减少其输入大小的算法都应该让您想到“log log n”。例如，van Emde Boas 树使用这种递归。

有趣的是，这种递归用于获得著名算法的运行时间，该算法用于确定性地解决最接近的点对问题，假设计算机可以在恒定时间内占用任意实数的地板。