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我遇到了一个非常大的非线性方程组，它看起来像：

  • M'UM = A
  • M'VM = B

其中 M、U、V 是未知d*d矩阵，A 和 B 是d*d具有以下性质的已知矩阵：

  • U 和 V 是对角矩阵
  • M 的主对角线元素全为 1
  • A 和 B 是对称矩阵，它们的条目是已知的
  • M' 表示 M 的转置。

请注意，（非线性）方程的总数和未知变量的总数是相同的，即。d(d+1) 准确地说。因此，它确保该系统具有独特的解决方案。

我试图通过R使用nleqslv和BB. 但是他们的文档没有涵盖以矩阵形式输入未知数的情况。在最坏的情况下，我们可以手动编写所有方程式，并使用上述软件包。但是，我正在寻找更好的方法。

任何帮助将不胜感激。即使有人建议其他一些可能在这方面有所帮助的编程语言或软件，那也没关系。谢谢你。

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我找到了这个问题的部分解决方案。具体来说，我找到了一种方法来找到 M'UM = A 的解决方案，给定 A，假设 A 是对称矩阵。

具体来说，每个实对称矩阵都可以写成

X = QDQ 转置

其中 Q 由 X 的一组正交特征向量形成，D 的对角线包含相应的特征值。

资源。

使用 numpy，很容易得到特征值和特征向量：

def solve(A):
    eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
    M = eigenvectors
    U = np.diag(eigenvalues)
    M_prime = M.T
    return M, U, M_prime

然后，我在一个随机对称数组上尝试了这个：

A = np.array([[0.2777055 , 0.17491669, 0.22634241],
       [0.17491669, 0.94572725, 0.4859058 ],
       [0.22634241, 0.4859058 , 0.89480942]])

M, U, M_prime = solve(A)
M @ U @ M_prime

结果：

array([[0.2777055 , 0.17491669, 0.22634241],
       [0.17491669, 0.94572725, 0.4859058 ],
       [0.22634241, 0.4859058 , 0.89480942]])

果然，当你将这三个矩阵相乘时，你会得到原来的 A。

不幸的是，我不知道如何以同时满足这两个方程的方式来解决这个问题。

于 2022-02-24T01:05:32.347 回答