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我有一个使用常规卷积的当前高斯模糊实现。它对于小内核来说足够高效，但是一旦内核大小变大一点，性能就会受到影响。所以，我正在考虑使用 FFT 实现卷积。我从来没有任何与 FFT 相关的图像处理的经验，所以我有几个问题。

  1. 基于 2D FFT 的卷积是否也可以分成两个 1D 卷积？

    • 如果是真的，它是这样的吗 - 每行的 1D FFT，然后每列的 1D FFT，然后乘以 2D 内核，然后每列的逆变换和每行的逆变换？或者我是否必须在每次一维 FFT 变换后乘以一维内核？

  2. 现在我明白内核大小应该与图像大小相同（一维的情况下为行）。但它将如何影响边缘？我必须用零填充图像边缘吗？如果是这样，内核大小应该等于填充之前或之后的图像大小？

另外，这是一个 C++ 项目，我打算使用 KissFFT，因为这是一个商业项目。欢迎您提出任何更好的替代方案。谢谢你。

编辑：感谢您的回复，但我还有一些问题。

  1. 我看到输入图像的虚部将全为零。但是输出虚部也会为零吗？我是否必须将高斯核乘以实部和虚部？

  2. 我有相同图像的实例以不同的比例模糊，即相同的图像被缩放到不同的大小并在不同的内核大小下模糊。每次缩放图像时都必须执行 FFT，还是可以使用相同的 FFT？

  3. 最后，如果我想可视化 FFT，我知道必须将日志过滤器应用于 FFT。但是我真的迷失了应该使用哪个部分来可视化 FFT？实部或虚部。

  4. 同样对于大小为 512x512 的图像，实部和虚部的大小是多少。它们的长度会一样吗？

再次感谢您的详细回复。

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2 回答 2

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  1. 2-D FFT 是可分离的，除了必须乘以 2D 内核的 2-D FFT 之外，您在如何执行它方面是正确的。如果您使用的是 Kissfft，执行 2-D FFT 的更简单方法是kiss_fftnd在 Kissfft 包的工具目录中使用。这将执行多维 FFT。

  2. 内核大小不必是任何特定大小。如果内核小于图像，则只需在执行 2-D FFT 之前将零填充到图像大小。您还应该对图像边缘进行零填充，因为在频域中通过乘法执行的卷积实际上是循环卷积，并且结果在边缘处环绕。

总结一下（假设图像大小为 M x N）：

  1. 提出任意大小 (U x V) 的二维内核
  2. 将内核补零至 (M+U-1) x (N+V-1)
  3. 取内核的二维 fft
  4. 将图像补零至 (M+U-1) x (N+V-1)
  5. 获取图像的二维 FFT
  6. 将内核的 FFT 乘以图像的 FFT
  7. 取结果的逆二维 FFT
  8. 修剪边缘的垃圾

如果您对不同的图像多次执行相同的过滤器，则不必每次执行 1-3 次。

注意： 内核大小必须相当大，才能比直接计算卷积更快。另外，您是否利用二维高斯滤波器是可分离的这一事实实现了直接卷积（请参阅“力学”部分的这几段）？也就是说，您可以在行和列上执行二维卷积作为一维卷积。我发现这比大多数基于 FFT 的方法要快，除非内核非常大。

对编辑的回应

  1. 如果输入是真实的，那么除了极少数情况外，输出仍然会很复杂。您的高斯核的 FFT 也将是复数，因此乘法必须是复数乘法。当您执行逆 FFT 时，输出应该是真实的，因为您的输入图像和内核是真实的。输出将以复数数组的形式返回，但虚数部分应为零或非常小（浮点误差）并且可以丢弃。

  2. 如果您使用相同的图像，您可以重用图像 FFT，但您需要根据您的最大内核大小进行零填充。您将必须计算所有不同内核的 FFT。

  3. 对于可视化，应使用复数输出的幅度。当较大的组件会以线性比例淹没它们时，对数刻度仅有助于可视化输出的较小组件。分贝标度经常被使用，并且由等效的20*log10(abs(x))或10*log10(x*x')等效的任何一个给出。(x是复数 fft 输出并且x'是 的复数共轭x)。

  4. FFT 的输入和输出大小相同。此外，实部和虚部的大小相同，因为一个实部和一个虚部形成一个样本。

于 2011-08-16T14:40:53.727 回答
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请记住，空间中的卷积相当于频域中的乘法。这意味着一旦您对图像和掩码（内核）执行 FFT，您只需进行逐点乘法，然后对结果进行 IFFT。话虽如此，这里有几句话要小心。

您可能知道，在数字信号处理中，我们经常使用循环卷积，而不是线性卷积。这是因为奇怪的周期性。简而言之，这意味着 DFT（以及 FFT 是其计算效率高的变体）假设您的信号是周期性的，并且当您以这种方式过滤信号时 - 假设您的图像是N x M像素 - 它需要对于某些m < M _ _ _ _ _. 您的信号几乎环绕在自身上。这意味着您的高斯蒙版将平均最右边的像素和最左边的像素，顶部和底部也是如此。这可能需要也可能不需要，但总的来说，无论如何都必须处理边缘伪影。然而，在处理 FFT 乘法时更容易忘记这个问题，因为问题不再明显。有很多方法可以解决这个问题。最好的方法是简单地用零填充您的图像，然后删除多余的像素。

在频域中使用高斯滤波器的一个非常巧妙的事情是，您永远不必真正采用它的 FFT。众所周知，高斯的傅里叶变换是高斯的（这里有一些技术细节）。然后你所要做的就是用零（顶部和底部）填充你的图像，在频域中生成一个高斯，将它们相乘并进行 IFFT。然后你就完成了。

希望这可以帮助。

于 2011-08-16T14:49:08.633 回答