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我想在数字上整合以下内容：

eq1

在哪里

eq2

和a,b和β是常量，为简单起见，都可以设置为1。

Matlab usingdblquad和 Mathematica usingNIntegrate都不能处理分母产生的奇异性。由于它是一个双积分，我无法指定 Mathematica 中的奇点在哪里。

我确信它不是无限的，因为这个积分是基于微扰理论并且没有

在此处输入图像描述

以前发现过（只是不是我发现的，所以我不知道它是如何完成的）。

有任何想法吗？

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4 回答 4

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(1) 如果您提供您使用的显式代码，将会很有帮助。这样其他人（阅读：我）不需要单独编码。

(2) 如果积分存在，它必须为零。这是因为您在交换 x 和 y 时否定了 n(y)-n(x) 因子，但其余部分保持不变。然而，积分范围对称意味着仅重命名变量，因此它必须保持不变。

(3) 这里有一些代码显示它将为零，至少如果我们将奇异部分和围绕它的小带归零的话。

a = 1;
b = 1;
beta = 1;
eps[x_] := 2*(a-b*Cos[x])
n[x_] := 1/(1+Exp[beta*eps[x]])
delta = .001;
pw[x_,y_] := Piecewise[{{1,Abs[Abs[x]-Abs[y]]>delta}}, 0]

我们在被积函数上加 1 只是为了避免结果接近于零的准确性问题。

NIntegrate[1+Cos[(x+y)/2]^2*(n[x]-n[y])/(eps[x]-eps[y])^2*pw[Cos[x],Cos[y]],
  {x,-Pi,Pi}, {y,-Pi,Pi}] / (4*Pi^2)

我得到下面的结果。

NIntegrate::slwcon: 
   Numerical integration converging too slowly; suspect one of the following:
    singularity, value of the integration is 0, highly oscillatory integrand,
    or WorkingPrecision too small.

NIntegrate::eincr: 
   The global error of the strategy GlobalAdaptive has increased more than 
    2000 times. The global error is expected to decrease monotonically after a
     number of integrand evaluations. Suspect one of the following: the
     working precision is insufficient for the specified precision goal; the
     integrand is highly oscillatory or it is not a (piecewise) smooth
     function; or the true value of the integral is 0. Increasing the value of
     the GlobalAdaptive option MaxErrorIncreases might lead to a convergent
     numerical integration. NIntegrate obtained 39.4791 and 0.459541
     for the integral and error estimates.

Out[24]= 1.00002

这是一个很好的迹象，表明纯正的结果将为零。

(4) 用 cx 代替 cos(x) 和 cy 代替 cos(y)，并去除无关因素以进行收敛性评估，得到以下表达式。

((1 + E^(2*(1 - cx)))^(-1) - (1 + E^(2*(1 - cy)))^(-1))/
 (2*(1 - cx) - 2*(1 - cy))^2

以 cx 为中心的 cy 中的级数展开表示一个 1 阶极点。所以它看起来确实是一个奇异积分。

丹尼尔·利赫特布劳

于 2011-08-16T18:16:40.177 回答
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积分看起来像一个柯西主值类型的积分（即它具有很强的奇异性）。这就是为什么你不能应用标准的正交技术。

您是否在 Mathematica 的 Integrate 中尝试过 PrincipalValue->True？

于 2011-08-16T14:33:24.963 回答
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除了 Daniel 关于在对称范围内积分奇数被积函数的观察（因此对称性表明结果应该为零），您还可以这样做以更好地理解它的收敛性（我将使用乳胶，用笔和纸写出来应该使它更容易阅读；写比做要花更长的时间，这并不复杂）：

首先，epsilon(x)-\epsilon(y)\propto\cos(y)-\cos(x)=2\sin(\xi_+)\sin(\xi_-)我已经定义\xi_\pm=(x\pm y)/2了（所以我将轴旋转了 pi/4）。整合区域则\xi_+介于\pi/\sqrt{2}和-\pi/\sqrt{2}之间\xi_-。然后被积函数采用没有分歧\pm(\pi/\sqrt{2}-\xi_-)的形式乘以项。\frac{1}{\sin^2(\xi_-)\sin^2(\xi_+)}因此，显然，存在二阶极点，这并不像呈现的那样收敛。

也许您可以通过电子邮件向获得 cos 术语答案的人发送电子邮件，并询问他们究竟做了什么。也许正在使用物理正则化程序。或者您可以提供有关此物理起源的更多信息（某种玻色子系统的某种二阶微扰理论？），如果这不是题外话...

于 2011-08-16T20:44:01.810 回答
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可能是我在这里遗漏了一些东西，但是被积函数 f[x,y]=Cos^2[(x+y)/2]*(n[x]-n[y])/(eps[x]-eps [y]) 与 n[x]=1/(1+Exp[Beta*eps[x]]) 和 eps[x]=2(ab*Cos[x]) 确实是 x 和 y 中的对称函数： f[x,-y]= f[-x,y]=f[x,y]。因此它在任何域 [-u,u]x[-v,v] 上的积分为零。这里似乎不需要数值积分。结果只是零。

于 2011-08-17T15:30:30.707 回答