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我寻求复值厄米特矩阵的最低特征值和特征向量。对于任何实值 Hermitian 矩阵，以下代码都可以完美运行：

import numpy as np
import numpy.linalg as la
import copy as cp

#Generates the representation in Krylov subspace of a Hermitian NxN matrix using the Lanczos algorithm and an initial vector guess vg.
def Lanczos(H,vg):
    Lv=np.zeros((len(vg),len(vg)), dtype=complex) #Creates matrix for Lanczos vectors
    Hk=np.zeros((len(vg),len(vg)), dtype=complex) #Creates matrix for the Hamiltonian in Krylov subspace
    Lv[0]=vg/la.norm(vg) #Creates the first Lanczos vector as the normalized guess vector vg
     
    #Performs the first iteration step of the Lanczos algorithm
    w=np.dot(H,Lv[0]) 
    a=np.dot(np.conj(w),Lv[0])
    w=w-a*Lv[0]
    Hk[0,0]=a
     
    #Performs the iterative steps of the Lanczos algorithm
    for j in range(1,len(vg)):
        b=(np.dot(np.conj(w),np.transpose(w)))**0.5
        Lv[j]=w/b
         
        w=np.dot(H,Lv[j])
        a=np.dot(np.conj(w),Lv[j])
        w=w-a*Lv[j]-b*Lv[j-1]
        
        #Creates tridiagonal matrix Hk using a and b values
        Hk[j,j]=a
        Hk[j-1,j]=b
        Hk[j,j-1]=np.conj(b)
        
    return (Hk,Lv)

但是对于复数值，输出的特征向量是不一样的（尽管特征值是一样的！）：

H = np.random.rand(8,8) + np.random.rand(8,8)*1j #Generates random complex-valued 8x8 matrix
H = H + H.conj().T #Ensures 8x8 matrix is symmetric (hermitian)
Hc = cp.copy(H)
a,b = np.linalg.eig(H) #Directly computes eigenvalues of H
vg = np.random.rand(8) + np.random.rand(8)*1j #Generates random guess vector
Hk,Lv = Lanczos(Hc,vg) #Applies the Lanczos algorithm to H using the guess vector vg
A,B= np.linalg.eig(Hk)

#While the following outputs are the same
a[0]
A[0]
#The following are not!!!
b[:,0]
np.dot(B[:,0],Lv)

知道我做错了什么吗？谢谢你。

- - 解决方案 - -

向 Accumulation 大喊指出这一点，但在此过程中似乎没有任何问题，因为特征值检查产生：

a[0]*b[:,0] - np.dot(H,b[:,0])
array([ 3.55271368e-15+1.11022302e-15j,  4.44089210e-16-3.65257395e-16j,
        0.00000000e+00+9.99200722e-16j, -4.44089210e-16+3.33066907e-16j,
       -2.22044605e-15-1.66533454e-16j,  1.33226763e-15+0.00000000e+00j,
        2.66453526e-15+1.22124533e-15j,  3.10862447e-15+1.22124533e-15j])
A[0]*np.dot(B[:,0],Lv) - np.dot(H,)
array([2.22044605e-15+1.77635684e-15j, 2.66453526e-15+1.55431223e-15j,
       2.66453526e-15+1.55431223e-15j, 2.66453526e-15+1.77635684e-15j,
       3.55271368e-15+2.66453526e-15j, 1.77635684e-15+1.99840144e-15j,
       1.33226763e-15+1.77635684e-15j, 8.88178420e-16+1.55431223e-15j])

暗示 b[:,0] 和 np.dot(B[:,0],Lv) 都是 Hermitian 矩阵 H 的特征向量。

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2 回答 2

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对于非退化矩阵，每个特征值都有一个与之关联的特征向量的一维空间。如果向量空间有一个范数，我们可以通过要求其范数为 1 来缩小我们对要采用什么特征向量的选择，但是对于复数上的向量，对于每个特征值，仍然有无数个范数为 1 的特征向量。因此，这两种算法似乎从所有有效特征值中选择了不同的特征值。

对于退化矩阵，情况更加复杂，因为特征值可以具有多维特征空间。

于 2021-08-11T18:46:22.490 回答
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看起来这是预期的行为。numpy 中有一个函数专门用于计算复杂 Hermitian 矩阵的特征值/特征向量: numpy.linalg.eigh()，因此我们不会期望numpy.linalg.eig()得到复杂 Hermitian 矩阵的正确值。

于 2021-08-11T16:49:14.237 回答