0

这是此处发布的两个问题的延续，

在 Matlab 中声明一个函数递归序列

在 Pari-GP 中嵌套特定的递归

长话短说，我构建了一系列函数来求解四分函数方程。我已经证明这些东西是全纯的。现在是制作图表的时候了，或者至少是一些可以通过的代码来评估这些东西。我的精度已经达到了大约 13 位有效数字，但是如果我尝试获得更多，我会遇到一个特定的错误。该错误实际上只不过是溢出错误。但这是一个特殊的溢出错误；Pari-GP 似乎不喜欢嵌套对数。

我的特殊数学函数是通过取一些大的东西来近似的（想想 e^e^e^e^e^e^e 的顺序）来产生一些小的东西（e^(-n) 的顺序）。数学本质上需要大值的样本来产生这些小值。奇怪的是，随着我们越来越接近数值近似（大约 13 个有效数字左右），我们也越来越接近溢出，因为我们需要如此大的值来获得这 13 个有效数字。我是一个糟糕透顶的程序员；我想知道是否有一些我没有看到的工作。

/*
This function constructs the approximate Abel function
The variable z is the main variable we care about; values of z where real(z)>3 almost surely produces overflow errors
The variable l is the multiplier of the approximate Abel function
The variable n is the depth of iteration required
n can be set to 100, but produces enough accuracy for about 15 
The functional equation this satisfies is exp(beta_function(z,l,n))/(1+exp(-l*z)) = beta_function(z+1,l,n); and this program approaches the solution for n to infinity
*/

beta_function(z,l,n) =
{
    my(out = 0);
    for(i=0,n-1,
        out = exp(out)/(exp(l*(n-i-z)) +1));
    out;
}

/*
This function is the error term between the approximate Abel function and the actual Abel function
The variable z is the main variable we care about
The variable l is the multiplier
The variable n is the depth of iteration inherited from beta_function
The variable k is the new depth of iteration for this function
n can be set about 100, still; but 15 or 20 is more optimal. 
Setting the variable k above 10 will usually produce overflow errors unless the complex arguments of l and z are large. 
Precision of about 10 digits is acquired at k = 5 or 6 for real z, for complex z less precision is acquired. k should be set to large values for complex z and l with large imaginary arguments.
*/

tau_K(z,l,n,k)={
    if(k == 1, 
      -log(1+exp(-l*z)), 
      log(1 + tau_K(z+1,l,n,k-1)/beta_function(z+1,l,n)) - log(1+exp(-l*z))
    )
}

/*
This is the actual Abel function
The variable z is the main variable we care about
The variable l is the multiplier
The variable n is the depth of iteration inherited from beta_function
The variable k is the depth of iteration inherited from tau_K
The functional equation this satisfies is exp(Abl_L(z,l,n,k)) = Abl_L(z+1,l,n,k); and this function approaches that solution for n,k to infinity
*/

Abl_L(z,l,n,k) ={
    beta_function(z,l,n) + tau_K(z,l,n,k);
}

这是近似我已经证明是全纯的函数的代码；但可悲的是，我的代码太可怕了。在这里，附上了一些预期的输出，您可以在其中看到大约 10 - 13 位有效数字满足功能方程。

Abl_L(1,log(2),100,5)

%52 = 0.1520155156321416705967746811

exp(Abl_L(0,log(2),100,5))

%53 = 0.1520155156321485241351294757

Abl_L(1+I,0.3 + 0.3*I,100,14)

%59 = 0.3353395055605129001249035662 + 1.113155080425616717814647305*I

exp(Abl_L(0+I,0.3 + 0.3*I,100,14))

%61 = 0.3353395055605136611147422467 + 1.113155080425614418399986325*I

Abl_L(0.5+5*I, 0.2+3*I,100,60)

%68 = -0.2622549204469267170737985296 + 1.453935357725113433325798650*I

exp(Abl_L(-0.5+5*I, 0.2+3*I,100,60))

%69 = -0.2622549205108654273925182635 + 1.453935357685525635276573253*I

现在，您会注意到我必须将 k 值更改为不同的值。当参数 z,l 离实轴更远时，我们可以使 k 非常大（我们必须获得良好的精度），但它最终还是会溢出；通常，一旦我们达到了大约 13-15 个有效数字，功能就会开始爆炸。您会注意到，设置 k =60 意味着我们采用 60 个对数。这听起来已经是个坏主意了，哈哈。但从数学上讲，值 Abl_L(z,l,infinity,infinity) 正是我想要的函数。我知道这一定很奇怪；嵌套的无限 for 循环听起来像是胡说八道，哈哈。

我想知道是否有人可以想出一种方法来避免这些溢出错误并获得更高的准确性。在一个完美的世界中，这个对象绝对会收敛，并且这段代码完美无缺（尽管可能有点慢）；但我们可能需要无限期地增加堆栈大小。从理论上讲，这完全没问题；但实际上，这是不切实际的。无论如何，作为一名程序员，可以解决这个问题吗？

在这一点上我唯一的其他选择是尝试创建一个蛮力算法来发现这个函数的泰勒级数；但我在这方面运气不佳。这个过程非常独特，尝试使用泰勒级数解决这个问题让我们回到了原点。除非，这里有人可以想出一种从这个表达式中恢复泰勒级数的奇特方法。

老实说，我愿意接受所有建议，任何评论。我束手无策；我想知道这是否只是其中唯一解决方案是无限期增加堆栈大小的事情之一（这绝对有效）。这不仅仅是因为我在处理大量数字。这是我需要越来越大的值来计算一个小的值。出于这个原因，我想知道是否有一些我没有看到的快速工作。Pari-GP 吐出的错误总是与 tau_K 一起出现，所以我想知道这是否已被次优编码；并且我应该在它迭代时添加一些东西以减少堆栈大小。或者，如果可能的话。再说一次，我是一个糟糕的程序员。我需要有人像我在幼儿园一样向我解释这一点。

任何帮助、评论、澄清问题都非常受欢迎。在这一点上，我就像一只追尾巴的狗；想知道为什么他不能取 1000 个对数，哈哈。

问候。

编辑：

我想我要补充一点，我可以产生任意精度，但我们必须z在左半平面保持距离的争论。如果变量n,k = -real(z)那么我们可以通过制作n尽可能大的变量来产生任意精度。这里有一些输出来解释这一点，我用过的地方\p 200，我们在这个级别上几乎是平等的（减去一些数字）。

Abl_L(-1000,1+I,1000,1000)

%16 = -0.29532276871494189936534470547577975723321944770194434340228137221059739121428422475938130544369331383702421911689967920679087535009910425871326862226131457477211238400580694414163545689138863426335946 + 1.5986481048938885384507658431034702033660039263036525275298731995537068062017849201570422126715147679264813047746465919488794895784667843154275008585688490133825421586142532469402244721785671947462053*I

exp(Abl_L(-1001,1+I,1000,1000))

%17 = -0.29532276871494189936534470547577975723321944770194434340228137221059739121428422475938130544369331383702421911689967920679087535009910425871326862226131457477211238400580694414163545689138863426335945 + 1.5986481048938885384507658431034702033660039263036525275298731995537068062017849201570422126715147679264813047746465919488794895784667843154275008585688490133825421586142532469402244721785671947462053*I

Abl_L(-900 + 2*I, log(2) + 3*I,900,900)

%18 = 0.20353875452777667678084511743583613390002687634123569448354843781494362200997943624836883436552749978073278597542986537166527005507457802227019178454911106220050245899257485038491446550396897420145640 - 5.0331931122239257925629364016676903584393129868620886431850253696250415005420068629776255235599535892051199267683839967636562292529054669236477082528566454129529102224074017515566663538666679347982267*I

exp(Abl_L(-901+2*I,log(2) + 3*I,900,900))

%19 = 0.20353875452777667678084511743583613390002687634123569448354843781494362200997943624836883436552749978073278597542986537166527005507457802227019178454911106220050245980468697844651953381258310669530583 - 5.0331931122239257925629364016676903584393129868620886431850253696250415005420068629776255235599535892051199267683839967636562292529054669236477082528566454129529102221938340371793896394856865112060084*I

Abl_L(-967 -200*I,12 + 5*I,600,600)

%20 = -0.27654907399026253909314469851908124578844308887705076177457491260312326399816915518145788812138543930757803667195961206089367474489771076618495231437711085298551748942104123736438439579713006923910623 - 1.6112686617153127854042520499848670075221756090591592745779176831161238110695974282839335636124974589920150876805977093815716044137123254329208112200116893459086654166069454464903158662028146092983832*I

exp(Abl_L(-968 -200*I,12 + 5*I,600,600))

%21 = -0.27654907399026253909314469851908124578844308887705076177457491260312326399816915518145788812138543930757803667195961206089367474489771076618495231437711085298551748942104123731995533634133194224880928 - 1.6112686617153127854042520499848670075221756090591592745779176831161238110695974282839335636124974589920150876805977093815716044137123254329208112200116893459086654166069454464833417170799085356582884*I

问题是，我们不能只是exp一遍又一遍地申请前进并期望保持相同的精度。问题在于exp，当您在复平面中迭代它时，它会显示出如此多的混乱行为，这注定会奏效。

4

1 回答 1

0

好吧，我回答了我自己的问题。@user207421 发表了评论，我不确定这是否意味着我认为的意思，但我认为它让我到达了我想要的地方。我有点假设这exp不会继承其论点的精确性，但显然这是真的。所以我只需要定义，

Abl_L(z,l,n,k) ={
    if(real(z) <= -max(n,k),
    beta_function(z,l,n) + tau_K(z,l,n,k),
    exp(Abl_L(z-1,l,n,k)));
}

从这里开始一切正常；当然，为了我需要它。所以，我回答了我自己的问题，这很简单。我只需要一个if声明。

无论如何，感谢任何阅读本文的人。

于 2021-05-06T04:44:27.963 回答