c - 完美正方形 - 有人可以解释以下数学吗？

Question

问题陈述：

Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, ...) which sum to n.

Example 1:

Input: n = 12
Output: 3 
Explanation: 12 = 4 + 4 + 4.

Example 2:

Input: n = 13
Output: 2
Explanation: 13 = 4 + 9.

使用以下有关正方形的知识（如下所示），我们可以实现以下解决方案。

自然数是...

1. ...当且仅当每个素因数在数字的素因数分解中出现偶数次方时，方格。
2. ...两个平方的和当且仅当每个 3 模 4 的素数因数在数字的素数因式分解中出现偶数幂。
3. ...三个平方和当且仅当它不是具有整数 a 和 b 的 4a(8b+7) 形式。
4. ...四个平方的总和。时期。没有条件。你永远不需要超过四个。

int numSquares(int n) {
    while (n % 4 == 0)
        n /= 4;
    if (n % 8 == 7)
        return 4;
    for (int a=0; a*a<=n; ++a) {
        int b = sqrt(n - a*a);
        if (a*a + b*b == n)
            return 1 + !!a;
    }
    return 3;
}

问题：

有人可以帮助我了解我们在执行 for 循环时到底要达到什么目标吗？我在这里有点迷路了。

for (int a=0; a*a<=n; ++a) {
    int b = sqrt(n - a*a);
    if (a*a + b*b == n)
        return 1 + !!a;
}

Answer 1

循环试图找到两个总和为 的平方n。

与其尝试每个数字组合，看看我们是否可以将它们平方和它们相加n，我们只是循环遍历其中一个数字的可能性——就是这样a。我们将它与 平方a*a，然后从 中减去n。然后我们得到这个差的平方根的整数部分，这是b。如果 a ² +b ²加起来是n，这就是我们要寻找的正方形对。

n - a*a如果不是完美的平方，我们需要计算平方和。在这种情况下，它的平方根中会有一个分数，当我们将它转​​换为整数时，它会丢失。换句话说，测试a*a+b*b == n使我们能够确定平方根是否为整数。