function - 如何证明 log(1+x) 和 (1+x^2) 不相交？

Question

我尝试转换为指数，e^(1+x^2) -x -1 = 0 然后找到矛盾但没有找到。然后我区分找到一个最小值 > 0. 2xe^(1+x^2) -1 = 0 但没有找到解决方案，因为术语 2xe^(1+x^2) 不等于 1点 x。再次，即使有任何它仍然是一个局部最小值。

Answer 1

令 f(x) = 1 + x^2 - log(1 + x)

有条件的：x > -1

f'(x) = 2x -1/(1+x)

f'(x) = 0 => x = (sqrt(3) - 1) / 2

f"(x) = 2 + 1/(1+x)^2, 总是大于 0

所以 f(sqrt(3) - 1) / 2) 必须是 f 的最小值

f(sqrt(3) - 1) / 2) 约为 0.8

所以 f(x) 总是大于 0.8

因此，f(x) = 0 没有解。

因此 log(1+x) 和 (1+x^2) 不相交。