r - 使用 Chebyshev 的 P(4 < X <12) 与模拟值不一致

Question

在使用均值 = 8 和方差 = 7.9 的切比雪夫计算 P(4 < X < 12) 时，概率结果为 0.5，但在 R 中运行此模拟时，我得到 0.79

有什么我做错了吗？

nsims=10000
x1=rpois(nsims,8)
mean(x1)
var(x1)
length1 = length(which (x1 < 12))
length2 = length(which (x1 <= 4))
length1
length2
(length1 - length2)/nsims

Answer 1

如果您在 上应用切比雪夫不等式P(4 < X < 12)，您将得到其概率的下限。

以下是向您展示原因的推导。

  P(4 < X < 12) 
= P(|X-8| < 4) 
= 1 - P(|X-8| >= 4/sqrt(7.9)* sqrt(7.9)) 
>= 1 - (sqrt(7.9)/4)^2 = 0.50625

Answer 2

您的模拟给出了正确的答案。P(4 < x < 12)x 是从 lambda 为 8 的泊松分布中抽取的随机变量的确切答案可以在没有模拟的 R 中找到：

sum(dpois(5:11, 8))
#> [1] 0.7884436

您对实际概率应该满足切比雪夫不等式下限的期望是您出错的地方。