我正在使用 GNU Scientific Library 的多根查找器的实现来求解以下非线性方程组中的未知数 (x和)：y
但是，我对“起点”有点困惑：
Solve(const double *x, int maxIter = 0, double absTol = 0, double relTol = 0)从点 X 开始求根；如果给定，则使用迭代次数和容差，否则使用可以由静态方法 SetDefault 定义的默认参数值
起点如何选择？
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在一维多项式问题中，这是一个经过充分研究的Real-root_isolation域。在二维中它不太为人所知。
首先注意我们可以将方程转换为多项式，取第一个
sqrt[(x-x1)^2 + (y-y1)^2] + s (t2 -t1) = sqrt[(x-x1)^2 + (y-y1)^2]
两边正方形
[(x-x1)^2 + (y-y1)^2] + 2 sqrt[(x-x1)^2 + (y-y1)^2][s (t2 -t1)] + [s (t2 -t1)]^2 = [(x-x1)^2 + (y-y1)^2]
改编
2 sqrt[(x-x1)^2 + (y-y1)^2][s (t2 -t1)] = [(x-x1)^2 + (y-y1)^2] - [(x-x1)^2 + (y-y1)^2] - [s (t2 -t1)]^2
再次正方形
4 [(x-x1)^2 + (y-y1)^2] [s (t2 -t1)]^2 = ([(x-x1)^2 + (y-y1)^2] - [(x-x1)^2 + (y-y1)^2] - [s (t2 -t1)]^2)^2
给我们一个多项式。（注）
一旦我们有了一组多项式，就可以使用一些代数技术。
我使用的一种技术是将多项式转换为Bernstein polynomials。首先，重新调整您的域，使两个变量都位于 [0,1] 中。如果 m, n 是两个多项式的次数，则多项式可以表示为和
sum i=0..m sum j=0..n b_ij mCi nCj x^i (1-x)^(n-i) y^j (1-y)^(n-j)
其中 mCi、nCj 是二项式系数。
这些多项式具有很好的凸性。如果系数 b_ij 都是正的，那么多项式的值对于 [0,1] 中的所有 x,y 都是正的。如果系数都是负数，则类似。
这让你可以说“这个地区没有解决方案”。
因此，解决问题的策略可能是：
- 选择解决方案可能出现的最大区域。
- 将其细分为一组较小的区域
- 对于每个区域，计算每个方程的伯恩斯坦多项式
- 检查 Bernstein 多项式的系数，如果它们都是正数（或全负数），则拒绝该区域
- 您现在应该已经拒绝了大部分域。使用每个剩余区域中的一个点启动多根查找器。
如果您想了解如何构造 Berstein 多项式的详细信息，可以阅读我的论文A new method for drawing Algebraic Surfaces
注意：通过平方我们实际上得到了更多我们想要的解决方案。在最初的问题中，我们想要原理 sqareroot，即 +sqrt(A)，也有使用另一个根 -sqrt(A) 的解决方案。这使得问题变得更容易，而不是我们从两条双曲线的交点得到的四个解决方案，我们只有一个分支的交叉点，所以问题的一两个解决方案。
对于您的问题，有一种非常简单的方法可以获取其中一个起点。
假设 s=0。然后每个方程将给出与两点等距的点集。这是一条线，连接点的线段的垂直平分线，然后简单地找到三个垂直平分线的交点。这将是Circumscribed_circle的中心。这对于算法来说可能已经足够了。更简单的是简单地取三个点的平均值。
于 2020-10-03T08:29:54.450 回答