math - 两个平面之间的交线

Question

如何找到两个平面之间的交线？

我知道数学思想，我做了平面法向量之间的叉积

但是如何以编程方式从结果向量中获取线

Answer 1

平面的方程是ax + by + cz + d = 0，其中 (a,b,c) 是平面的法线，d 是到原点的距离。这意味着满足该方程的每个点 (x,y,z) 都是平面的成员。

给定两个平面：

P1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0
P2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0

两者之间的交集是验证两个方程的点集。要沿着这条线找到点，您可以简单地为 x 选择一个值，任何值，然后求解 y 和 z 的方程。

y = (-c1z -a1x -d1) / b1
z = ((b2/b1)*(a1x+d1) -a2x -d2)/(c2 - c1*b2/b1)

如果你 make x=0，这会变得更简单：

y = (-c1z -d1) / b1
z = ((b2/b1)*d1 -d2)/(c2 - c1*b2/b1)

Answer 2

在直线上找到一个点

要获得 2 个平面的交点，您需要在线上的一个点和该线的方向。

找到那条线的方向真的很容易，只需穿过相交的 2 个平面的 2 个法线。

lineDir = n1 × n2

但是那条线穿过原点，沿着你的平面交叉点延伸的线可能不会。因此，Martinho 的回答为在相交线上找到一个点（基本上是两个平面上的任何点）提供了一个很好的开端。

如果您想查看如何解决这个问题的推导，这里是它背后的数学：

首先让 x=0。现在我们在 2 个方程中有 2 个未知数，而不是在 2 个方程中有 3 个未知数（我们任意选择了一个未知数）。

那么平面方程是（因为我们选择 x=0，所以消除了 A 项）：

B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0

B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0

我们希望 y 和 z 使得这些方程对于给定的 B ₁、 C ₁都正确求解（=0） 。

因此，只需将顶部 eq 乘以 (-B ₂ /B ₁ ) 即可得到

-B ₂ y + (-B ₂ /B ₁ )*C ₁ z + (-B ₂ /B ₁ )*D ₁ = 0

B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0

添加 eqs 得到

z = ( (-B ₂ /B ₁ )*D ₁ - D ₂ ) / (C ₂ * B ₂ /B ₁ )*C ₁ )

现在将您找到的 z 放入第一个等式中以找到 y 为

y = (-D ₁ - C ₁ z) / B ₁

请注意，使 0的最佳变量是系数最低的变量，因为它无论如何都不携带任何信息。因此，如果 C ₁和 C ₂都为 0，则选择 z=0（而不是 x=0）将是更好的选择。

_{如果 B 1} =0（这不太可能），上述解决方案仍然会搞砸。您可以添加一些 if 语句来检查 B ₁ =0，如果是，请务必改为求解其他变量之一。

使用 3 个平面相交的解决方案

根据用户的回答，3 个平面相交的封闭形式解决方案实际上在 Graphics Gems 1 中。公式为：

P_intersection = (( point_on1 • n1 )( n2 × n3 ) + ( point_on2 • n2 )( n3 × n1 ) + ( point_on3 • n3 )( n1 × n2 )) / det(n1,n2,n3)

实际上 point_on1 • n1 = -d1 （假设你写你的飞机 Ax + By + Cz + D=0，而不是 =-D）。因此，您可以将其重写为：

P_intersection = (( -d1 )( n2 × n3 ) + ( -d2 )( n3 × n1 ) + ( -d3 )( n1 × n2 )) / det(n1,n2,n3)

与 3 个平面相交的函数：

// Intersection of 3 planes, Graphics Gems 1 pg 305
static Vector3f getIntersection( const Plane& plane1, const Plane& plane2, const Plane& plane3 )
{
  float det = Matrix3f::det( plane1.normal, plane2.normal, plane3.normal ) ;
    
  // If the determinant is 0, that means parallel planes, no intn.
  if( det == 0.f ) return 0 ; //could return inf or whatever
  
  return ( plane2.normal.cross( plane3.normal )*-plane1.d +
           plane3.normal.cross( plane1.normal )*-plane2.d + 
           plane1.normal.cross( plane2.normal )*-plane3.d ) / det ;            
}

证明它有效（黄点是 rgb 平面的交点）

获取线路

一旦你有两个平面共有的交点，这条线就行了

P + t*d

其中 P 是交点，t 可以从 (-inf, inf) 出发，d 是方向向量，它是两个原始平面的法线的叉积。

红色和蓝色平面之间的交线如下所示

效率和稳定性

据我计算，“稳健”（第二种方式）需要 48 个基本操作，而第一种方式（x，y 的隔离）使用 36 个基本操作。这两种方式之间的稳定性和 # 计算之间存在权衡。

_{在 B 1}为 0 并且您没有检查的情况下，从调用第一种方式返回 (0,inf,inf) 将是非常灾难性的。因此，添加if语句并确保第一种方式不除以 0 可能会给您带来稳定性，但代价是代码膨胀和添加的分支（这可能非常昂贵）。3 平面相交法几乎是无分支的，不会给你无穷大。

Answer 3

添加此答案以确保完整性，因为在撰写本文时，此处的答案均不包含直接解决该问题的工作代码示例。

虽然这里的其他答案已经涵盖了这些原则。

---

可以使用 3 平面相交算法的简化版本来计算两个平面之间的线。

bobobobo 的答案中的第二个“更强大的方法”引用了 3 平面相交。

虽然这适用于 2 个平面（其中第 3 个平面可以使用前两个平面的叉积计算），但对于 2 个平面版本，该问题可以进一步减少。

• 无需使用 3x3 矩阵行列式，
  而是可以使用第一个和第二个平面之间的叉积的平方长度（这是第 3 个平面的方向）。
• 无需包括第 3 个平面距离，
  （计算最终位置）。
• 无需否定距离。
  通过交换交叉产品订单来节省一些 cpu 周期。

包括这个代码示例，因为它可能不会立即显而易见。

// Intersection of 2-planes: a variation based on the 3-plane version.
// see: Graphics Gems 1 pg 305
//
// Note that the 'normal' components of the planes need not be unit length
bool isect_plane_plane_to_normal_ray(
        const Plane& p1, const Plane& p2,
        // output args
        Vector3f& r_point, Vector3f& r_normal)
{
    // logically the 3rd plane, but we only use the normal component.
    const Vector3f p3_normal = p1.normal.cross(p2.normal);
    const float det = p3_normal.length_squared();

    // If the determinant is 0, that means parallel planes, no intersection.
    // note: you may want to check against an epsilon value here.
    if (det != 0.0) {
        // calculate the final (point, normal)
        r_point = ((p3_normal.cross(p2.normal) * p1.d) +
                   (p1.normal.cross(p3_normal) * p2.d)) / det;
        r_normal = p3_normal;
        return true;
    }
    else {
        return false;
    }
}

Answer 4

只要两个平面不平行，这种方法就可以避免除以零。

如果这些是飞机：

A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0
A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0

1) 找到一个平行于交线的向量。这也是垂直于其他两个平面的第三个平面的法线：

(A3,B3,C3) = (A1,B1,C1) cross (A2,B2,C2)

2) 形成一个由 3 个方程组成的系统。这些描述了在一点相交的 3 个平面：

A1*x1 + B1*y1 + C1*z1 + D1 = 0
A2*x1 + B2*y1 + C2*z1 + D2 = 0
A3*x1 + B3*y1 + C3*z1 = 0

3) 求解它们以找到 x1,y1,z1。这是相交线上的一个点。

4) 相交线的参数方程为：

x = x1 + A3 * t
y = y1 + B3 * t
z = z1 + C3 * t

Answer 5

基于行列式的方法很简洁，但很难理解它为什么有效。

这是另一种更直观的方式。

这个想法是首先从原点到第一个平面 ( p1) 上的最近点，然后从那里到两个平面相交线上的最近点。（沿着我在v下面调用的向量。）

Given
=====
 First plane: n1 • r = k1
Second plane: n2 • r = k2

Working
=======
dir = n1 × n2
p1 = (k1 / (n1 • n1)) * n1
v = n1 × dir
pt = LineIntersectPlane(line = (p1, v), plane = (n2, k2))

LineIntersectPlane
==================
#We have n2 • (p1 + lambda * v) = k2
lambda = (k2 - n2 • p1) / (n2 • v)
Return p1 + lambda * v

Output
======
Line where two planes intersect: (pt, dir)

这应该与基于行列式的方法给出相同的观点。几乎可以肯定两者之间存在联系。n2 • v如果我们应用“标量三重积”规则，至少分母是相同的。因此，就条件数而言，这些方法可能是相似的。

不要忘记检查（几乎）平行平面。例如：if (dir • dir < 1e-8)如果使用单位法线，应该可以正常工作。

Answer 6

线的叉积是相交线的方向。现在您需要在交叉点上找到一个点。

您可以通过在叉积上取一个点，然后减去平面 A 的法线 * 到平面 A 的距离和平面 B 的法线 * 到平面 b 的距离来做到这一点。清洁器：

p = 叉积上的点

交点 = ([p] - ([平面 A 的法线] * [p 到平面 A 的距离]) - ([平面 B 的法线] * [从 p 到平面 B 的距离]))

编辑：

您有两个具有两个法线的平面：

N1 and N2

叉积是相交线的方向：

C = N1 x N2

上面的类有一个计算点和平面之间距离的函数。用它来获得 C 上某个点 p 到两个平面的距离：

p = C //p = 1 times C to get a point on C
d1 = plane1.getDistance(p)
d2 = plane2.getDistance(p)

相交线：

resultPoint1 = (p - (d1 * N1) - (d2 * N2))
resultPoint2 = resultPoint1 + C