我遇到了 Ulp 的以下定义（来自这篇文章1，定义 5。）：
尽管有一些不清楚的地方（定义中的线性一词是否意味着在两个 FP（浮点）数之间，这个函数是线性的 - 不是常数），因为我理解两个实数之间的ulp 距离与 FP 之间的数量成正比这些数字。但是，从该定义的下一个用法（在那篇文章中）来看，它没有任何意义：
这里x是实数，X是 FP 数，RN( x ) 表示x舍入到最接近的 FP 数。上述不等式两边的量具有不同的性质：LHS 是实数（可以是任意小的），RHS 是离散的（x和X之间的 FP 数）。
假设精度为 0.1。FP 为 0, 0.1, 0.2, ... 取x =0.06 和X =0.3。然后I(x) =0.6, I(X) =3 我们有 | XX | = 0.24，并且 ulp 距离为 2.4，因此不等式已得到满足，但x舍入到最接近的 FP 的结论是不正确的。
我错过了什么吗？
该定义意味着，给定两个连续的浮点数X和Y，其中 I( X ) 为q，I(Y) 为q +1，那么对于X和Y之间的任何实数z，I( z ) = q + ( z - X )/( Y - X )。也就是说，当z从X到Y时，I( z ) 从q到q +1，并且它是线性的：I( z )-I( X) 与z - X成正比。例如，如果z位于从X到Y的三分之一或二分之一处，则 I( z ) 为 q+1/3 或 q+1/2。
这意味着 I 是分段线性的：在浮点数的指数不变的任何区间内，I 是线性的。但它改变了浮点数移动到新指数的位置。
…据我了解，两个实数之间的 ulp 距离与这些数字之间的 FP 数成正比。
当跨越指数变化的区间时，这将不是真的，因为 I 的斜率会发生变化。
此外，即使在指数区间内，它也仅近似于两点之间的浮点数。例如，如果只有整数可以表示，我们可能有 I(4.25) = 4.25，I(3.75) = 3.75，所以 I(4.25)-I(3.75) = .5，但有一个浮点数 (4 ） 它们之间。同时，I(3.25) = 3.25，所以 I(3.75)−I(3.25) = .5，但它们之间没有浮点数。
上述不等式两边的量具有不同的性质：LHS 是实数（可以是任意小的），RHS 是离散的（x和X之间的 FP 数）。
右手边是一个连续实函数，如上图所示。
声明 | x - X | < ½δ ulp ( x , X ) ⇒ X = RN( x ) 似乎是一个错误，因为 | x - X | 是无单位实数距离，而 δ ulp ( x , X ) 以 ULP 为单位。也许这应该是 δ ulp ( x , X ) < ½ ⇒ X = RN( x )？它似乎是根据论文审稿人的建议添加的，可能在其他部分没有受到太多审查。为了进一步阅读，我建议Muller等人的浮点算术手册。