我正在尝试解决具有固定边界值（扩展 Fisher-Kolmogorov - EFK）的 6 阶非线性 PDE（1D）。在 FTCS 失败后，下一次尝试是使用 LSODES 的 MoL（空间中心或 FEM）。
如何实施？到目前为止使用 Python/C + OpenMP，但需要一些指针才能有效地做到这一点。
带有附加 6 阶项的 EFK：
u_t = d u_6x - g u_4x + u_xx + u-u^3
其中 d, g 是实系数。
u(x,0) = exp(-x^2/16), ux = 0 在边界上
domain 是 [0,300] 并且 dx << 1 因为我正在寻找模式形成（取决于 d，g 的值）
我希望这是足够的信息。
所有像这样的 PDE 解决方案最终都会在你的程序中使用线性代数来表达，所以诀窍是在开始编码之前弄清楚如何将 PDE 转换为那种形式。
有限元方法通常从加权残差法开始。非线性方程需要线性逼近和迭代方法，如 Newton-Raphson。我建议你从那里开始。
您的解决方案是瞬态解决方案，因此您必须进行时间步进。您可以使用显式方法并使用稳定性限制所需的小时间步长，也可以使用隐式方法，这将迫使您在每个步骤中进行矩阵求逆。
我会首先对线性部分进行傅立叶分析，以了解稳定性要求。
该方程中唯一使它成为非线性的项是最后一项：-u^3。您是否尝试过从保留该术语并求解剩余的线性方程开始？
更新：评论提示的一些额外想法：
我明白这个词的重要性u^3。扩散是空间的二阶导数，所以我不太确定六阶方程会效仿。我对偏微分方程的经验来自没有六阶方程的物理分支，所以老实说，我不知道解决方案可能是什么样子。我会先解决线性问题来感受一下。
至于稳定性和显式方法，时间步长上的稳定性限制使它们可能失败是教条，但概率不是 1.0。我认为 map reduce 和云计算可能会使明确的解决方案比 10 到 20 年前更可行。显式动力学已成为解决困难静力学问题的主流方法，因为它们不需要矩阵求逆。