orthogonal - 需要切比雪夫多项式的高阶导数

Question

我需要在所谓的 Chebyshev 网格的点处评估 Chebyshev 多项式的高阶（最多 4 个）导数，

x(j)=cos(πj/N), j=0,...,N

有谁知道该怎么做？我尝试了迭代方法，但它们太笨拙了。我记得在旧报纸上看到过类似的东西，但现在找不到了。

任何帮助表示赞赏。

Answer 1

一种方法（尽管这可能是您拒绝的迭代方法）是使用递归：

T[n+1]'/(n+1) - T[n-1]'/(n-1) = 2T[n]   n>=2

这需要一个人能够手动计算前 3 个多项式的导数，但是因为

T[0](x) = 1
T[1](x) = x
T[2](x) = 2*x*x-1

这很简单。

递归中的系数与 x 无关，因此如果 T[j,k] 是第 j 个 Chebyshev 多边形的第 k 个导数，我们可以很容易地对其进行微分，得到

T[n+1, k]/(n+1) - T[n-1,k]/(n-1) = 2T[n,k-1]    n>=2

所以代码可能是：

compute the T[n,0] (ie the polynomials) at the point, for n=0..deg
initialise T[j,d] for j=0,1,2 and the required degrees
for j=1..deg
   use the recurrence to compute the remaining polynomials