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编辑：

谢谢@yoda 和@morispaa。你是对的，@morispaa 的解决方案有效，即我对转换系数的处理，它基于对Z跨越的空间的假设，以及Z向量的顺序和“方向”，如果我更新Q的列的符号，使得R的对角线具有正元素。

有关我正在进行的转换的更多详细信息，您可以阅读此内容；下面的Z = 采样的 Zernike 多项式，众所周知，它在离散情况（我们的情况）上既不正交也不完整。

关于@morispaa 提出的解决方案为何有效的直觉。我很想听听您对此的意见：

我的直觉是，以某种方式在R中强制执行真正的非负对角线会呈现一个基Q ，它与Z中的向量更好地“对齐” （正如我之前所说，它是非单一的），因此下面的选项 1 和 2，即使它们代表不同的变换，输出系数也可能在相似的空间中。

更具体地说，我认为Z “几乎”是单一的，也许这会导致QR分解返回一个足够接近Z的基础？只有这样，我才能想象我对转换系数的处理（基于对Z中向量的具体情况的假设）在Q的对角线完全为正时起作用，但在它具有负条目时不起作用。你怎么看？

背景

我的机器上安装了 MATLAB R2011a和R2010b。

从R2010b到R2011a的更改之一会影响（请参阅此处qr()有关此特定更改的发行说明）的实施。

我的项目中的一个重要部分qr()用于估计直接和逆变换的正交基。我的代码将此转换应用于输入信号，处理转换后的系数并返回处理后的信号。换句话说，在R2011a中qr()所做的更改使处理此变换的系数的块停止工作（逆变换不会返回已处理信号的预期逆变换）。

不知何故，现在返回的Qqr()矩阵与旧版本不同，这会阻止对变换系数的处理正常工作。

第一个问题

鉴于上述情况，是否可以告诉R2011aqr()从R2010b使用？

第二个问题

我使用Q和Q'来计算直接和逆变换；您可以在此处查看更多详细信息。更具体地说，我使用y = Q * x和x = Q' * y分别计算直接和逆变换。计算直接变换的另一种方法是使用最小二乘法。换句话说，我们有两个选择：

选项 1：使用 QR 分解的直接和逆变换：

% Direct:
[Q R] = qr(Z);
y = Q' * x;

% Some processing of the y coefficients
% ...

% Inverse:
x = Q*y;

选项 2：通过最小二乘拟合进行直接和逆变换

% Direct:
y = Z \ x;

% Some processing of the y coefficients
% ...

% Inverse:
x = Z*y;

我们的变量是：

% x = Input vector
% y = Direct transformation of x
% Z = Matrix with sampled basis

在R2011a中，上面的选项 1停止工作（它在R2010b中工作）。我真的很喜欢使用直接和逆变换的想法qr()（它比为每个新向量计算最小二乘要快得多）。如果我想在qr()我的项目中使用新的，有人知道如何使用新的Q使我的转换再次工作吗？

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2 回答 2

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在QR分解中A=QR，R是一个上三角矩阵。如果您的矩阵A是invertible，那么如果您施加具有实数、非负对角线的条件，则分解是唯一的。R如果放宽这个条件，你会得到一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，但它们不必是唯一的。

分解的非唯一性经常使人们感到困惑，我想我会指出我最喜欢的例子之一：单位矩阵的特征向量。

从您提供的链接：

兼容性考虑： 由于 QR 分解不是唯一的，因此这些不同的结果仍然是正确的。确保您的代码不依赖于因子 Q 和 R 的元素值。

这是您的代码发生的情况吗？它取决于Qand的形式R吗？

作为一个快速修复，你可以试试这个R2010b：

which qr.m

在我的机器上，我得到/Applications/MATLAB_R2010b.app/toolbox/matlab/matfun/qr.m. 您可以尝试复制此功能并将其放在您的R2011路径中，然后将其重命名为qr2010或其他名称吗？然后，当您需要旧函数时，您可以qr2010从最新版本的 MATLAB 调用，它应该使用旧算法。我还没有测试过，所以让我知道它是否有效。

编辑

我R2011a在我的机器上安装并签出qr。就像我说的，不强制正对角线将导致元素符号的不同组合，从而使解决方案不唯一。但是，正向和逆变换应该可以工作，并且在我的机器上也可以。

A=magic(5);x=(1:5)';   %'
[Q R]=qr(A);
y=Q'*x;                %'
z=Q*y;

z'

ans =

    1.0000    2.0000    3.0000    4.0000    5.0000

我在R2011a和中得到相同的结果R2010b。所以，我的猜测是不知何故你依赖对角线是积极的，这可能不是一件好事。

但是，如果您想保留您的代码，而是让新的代码qr返回与 中相同的矩阵R2010b，那么您应该使用 morispaa 的建议。

编辑 2

morispaa 解决方案的解释：由于在 中2010b，对角线R是正的以在 中获得相同的行为2011a，因此您需要做的就是获取对角线的符号并将其传播到整个R矩阵。对于我上面的例子，R是

R =

  -32.4808  -26.6311  -21.3973  -23.7063  -25.8615
         0   19.8943   12.3234    1.9439    4.0856
         0         0  -24.3985  -11.6316   -3.7415
         0         0         0  -20.0982   -9.9739
         0         0         0         0  -16.0005

并且D是

D =

    -1     0     0     0     0
     0     1     0     0     0
     0     0    -1     0     0
     0     0     0    -1     0
     0     0     0     0    -1

的对角线R自动变为正数（就像 一样简单-1*-1=1）。Q同样，您在矩阵中传播符号。请注意，D*D它只是对角矩阵元素的平方，等于I，单位矩阵。因此，我们得到

 Q2*R2=Q*D*D*R
      =Q*I*R
      =Q*R
      =A
于 2011-05-03T07:11:29.603 回答
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我认为（目前手头没有 MATLAB）您可以恢复 2010b 版本的行为，如下所示：

[Q R] = qr(Z);
D = diag(sign(diag(R)));
R2 = D*R;
Q2 = Q*D;

现在R2将是上三角，有正对角线，Q2保持正交（或单一）和Q2*R2 = Z. 复杂情况下使用

R2 = D'*R;
Q2 = Q*D;
于 2011-05-03T09:38:00.847 回答