python - 最小平方的置信区间适合 scipy python

Question

如何计算python中最小二乘拟合（scipy.optimize.leastsq）的置信区间？

Answer 1

我会使用引导方法。
见这里： http: //phe.rockefeller.edu/LogletLab/whitepaper/node17.html

嘈杂高斯的简单示例：

x = arange(-10, 10, 0.01)

# model function
def f(p):
    mu, s = p
    return exp(-(x-mu)**2/(2*s**2))

# create error function for dataset    
def fff(d):
    def ff(p):
        return d-f(p)
    return ff

# create noisy dataset from model
def noisy_data(p):
    return f(p)+normal(0,0.1,len(x))

# fit dataset to model with least squares    
def fit(d):
    ff = fff(d)
    p = leastsq(ff,[0,1])[0]
    return p

# bootstrap estimation        
def bootstrap(d):
    p0 = fit(d)
    residuals = f(p0)-d
    s_residuals = std(residuals)

    ps = []
    for i in range(1000):
        new_d = d+normal(0,s_residuals,len(d))
        ps.append(fit(new_d))

    ps = array(ps)
    mean_params = mean(ps,0)
    std_params = std(ps,0)

    return mean_params, std_params

data = noisy_data([0.5, 2.1])
mean_params, std_params = bootstrap(data)

print "95% confidence interval:"
print "mu: ", mean_params[0], " +/- ", std_params[0]*1.95996
print "sigma: ", mean_params[1], " +/- ", std_params[1]*1.95996

Answer 2

我不确定您所说的置信区间是什么意思。

一般来说，leastsq对您试图最小化的函数知之甚少，因此它不能真正给出置信区间。但是，它确实返回了对 Hessian 的估计，换句话说，就是将二阶导数推广到多维问题。

正如函数的文档字符串中所暗示的那样，您可以使用该信息以及残差（您的拟合解与实际数据之间的差异）来计算参数估计的协方差，这是对置信区间的局部猜测。

请注意，这只是局部信息，我怀疑严格来说，只有当您的目标函数是严格凸的时，您才能得出结论。我没有关于该声明的任何证据或参考资料:)。

Answer 3

估计置信区间 (CI) 的最简单方法是将标准误差（标准差）乘以一个常数。要计算常数，您需要知道自由度 (DOF) 的数量以及要为其计算 CI 的置信水平。以这种方式估计的 CI 有时称为渐近 CI。您可以在 Motulsky 和 ​​Christopoulos（谷歌书籍）的“使用线性和非线性回归将模型拟合到生物数据”中阅读更多相关信息。同一本书（或非常相似的书）可作为作者软件的手册免费获得。

您还可以阅读如何使用 C++ Boost.Math 库计算 CI。在此示例中，CI 是针对一个变量的分布计算的。在最小二乘拟合的情况下，自由度不是N -1，而是NM，其中M是参数的数量。在 Python 中做同样的事情应该很容易。

这是最简单的估计。我不知道zephyr提出的bootstrapping方法，但它可能比我写的方法更可靠。