scala - Monoid 同态和同构

Question

我正在阅读《Scala 编程》这本书（红皮书）。

在关于 Monoids 的章节中，我了解了 Monoid 同态是什么，例如：M具有连接和length函数的 String Monoidf保留了幺半群结构，因此是同态的。

M.op(f(x), f(y)) == M.op(f(x) + f(y))
// "Lorem".length + "ipsum".length == ("Lorem" + "ipsum").length

引用这本书（凭记忆，如果我错了，请纠正我：

当这发生在两个方向上时，它被命名为 Monoid isomorphisim，这意味着对于 monoidsM, N和函数f, g，f andThen g并且g andThen f是identity函数。例如StringMonoid 和List[Char]具有连接的 Monoid 是同构的。

但是我看不到一个实际的例子，我只能认为是f函数length，但是会发生什么g？

注意：我看过这个问题：What are isomorphism and homomorphisms。

Answer 1

要查看 和 之间的同构String，List[Char]我们有toList: String -> List[Char]和mkString: List[Char] -> String。

length是从 String 幺半群到加法的自然数幺半群的同态。

字符串幺半群的内同态的几个例子是toUpperCase和toLowerCase。

对于列表，我们有很多同态，其中许多只是fold.

Answer 2

这是 siyopao 的答案，表示为 ScalaCheck 程序

object IsomorphismSpecification extends Properties("f and g") {
  val f: String => List[Char] = _.toList
  val g: List[Char] => String = _.mkString

  property("isomorphism") = forAll { (a: String, b: List[Char]) =>
    (f andThen g)(a) == a && (g andThen f)(b) == b
  }
}

哪个输出

+ f and g.isomorphism: OK, passed 100 tests.