glsl - 四元数除法和双曲正切 tanh

Question

四元数乘法定义明确，我称之为“汉密尔顿积”：

// hamilton product
vec4 qmul(in vec4 q1, in vec4 q2) {
    return vec4(
        q1.w * q2.xyz + q2.w * q1.xyz - cross(q1.xyz, q2.xyz),
        q1.w*q2.w - dot(q1.xyz, q2.xyz)
    );
}

但是，为了实现qtanh()四元数函数，我们需要除法。到目前为止，我已经找到了这个，并且工作正常。你能不能帮我理解一下，这是从哪里来的？

// division
// https://www.boost.org/doc/libs/1_67_0/boost/math/quaternion.hpp
vec4 qdiv(in vec4 q1, in vec4 q2) {
float denominator = dot(q2,q2);
return vec4( 
    vec3(
        -q1.w*q2.x+q1.x*q2.w-q1.y*q2.z+q1.z*q2.y,
        -q1.w*q2.y+q1.x*q2.z+q1.y*q2.w-q1.z*q2.x,
        -q1.w*q2.z-q1.x*q2.y+q1.y*q2.x+q1.z*q2.w
    ),
    q1.w*q2.w + dot(q1.xyz, q2.xyz)
) / denominator;
}

此外，就我试图实现 tanh() 而言，您是否知道更多的计算增值税，而不是划分 sinh 和 cosh？对于实数，我曾经使用以下公式： tanh(x)=-1+2/(1+exp(-x)). 这仅涉及单个指数微积分，而不是两个..

Answer 1

一、分工

将名为p的四元数除以名为q的四元数无非是将p乘以q的倒数。

这相当于将p乘以q的共轭（根据定义等于a – bi – cj – dk）并将乘积除以等于q范数平方的标量：

从这里很明显该denominator部分的来源：

现在让我们重新排列这些术语以vec3提高可读性：

vec3(
    -q1.w*q2.x + q1.x*q2.w - (q1.y*q2.z - q1.z*q2.y),
    -q1.w*q2.y + q1.y*q2.w - (q1.z*q2.x - q1.x*q2.z),
    -q1.w*q2.z + q1.z*q2.w - (q1.x*q2.y - q1.y*q2.x)
)

现在突然明白发生了什么：

vec3(
    -q1.w * q2.x    +  q1.x   * q2.w  -  (q1.y*q2.z - q1.z*q2.y),
    -q1.w * q2.y    +  q1.y   * q2.w  -  (q1.z*q2.x - q1.x*q2.z),
    -q1.w * q2.z    +  q1.z   * q2.w  -  (q1.x*q2.y - q1.y*q2.x)
)

...

    -q1.w * q2.xyz  +  q1.xyz * q2.w  -  (cross(q1.xyz, q2.xyz))

所以是的，四元数除法只是常规的普通乘法，被乘数是倒数。这就是缺点的来源，请参见上面的定义。

2.双曲正切

首先，定义。对于每个q = a + bi + cj + dk = a + v̅：

因此，要同时获得e ^q和e ^–q，您只需计算以下值：e ^a , ||v̅|| , sin(||v̅||) , cos(||v̅||)。

要计算e ^-q，您应该取e ^a的倒数，然后将其乘以符号倒置的等式的其余部分。这不会花费太多时间，因为它包含的所有值都已经计算过了。一个exp()电话，根据要求=）