math - 由空间中两点之间的弧长参数化的螺旋方程

Question

由空间中任意两点之间的弧长（即弧长的函数）参数化的螺旋方程是什么？有什么功能吗？我如何使用 matlab 或 mathematica 实现相同的功能？

Answer 1

只是为了增加 Mitch Wheat 的答案，螺旋并不是唯一的；对于给定的轴，自由度是转弯之间的距离、半径和相位（P、A和 phi以下）

如果你概括为

w = 2*pi/P
r(t) = (A cos (wt-phi)) i + (A sin (wt-phi)) j + (t) k

那么将弧长作为 t 的函数进行分析的一种方法（无需显式计算弧长积分）是认识到速度的大小是恒定的；平行于半径的速度分量为 0，平行于轴1的速度分量为 ，垂直于半径和轴的速度分量为Aw，因此速度的大小为 speed = sqrt(1 + A ² w ² ), => 弧长 s = sqrt(1 + A ² w ² )t

您需要某种方式来定义轴 ,P和A作为phi给定输入的函数。仅端点和弧长是不够的。

Answer 2

找到由下式定义的螺旋线的弧长参数化

    r(t)  =  cos t i + sin t j + t k

弧长 = s = 积分(a,b){sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2) dt}

首先找到弧长函数

     s(t) = Integral(0,t) { sqrt((sin u)^2 + (cos u)^2 + 1) du }
          = Integral(0,t) { sqrt(2) du } = sqrt(2) * t

求解 t 给出

    t   =  s / sqrt(2)

现在替换回来得到

    r(s)  =  cos(s / sqrt(2)) i + sin(s / sqrt(2)) j + (s / sqrt(2)) k

我把最后一点留给你！