latitude-longitude - 经度/纬度到四元数

Question

我有一个经度和纬度，想把它转换成四元数，想知道我该怎么做？我想使用它，因为我有一个将地球投影到球体上的应用程序，我想从一个位置旋转到另一个位置。

最好的！

Answer 1

有一种方法可以在不使用矩阵或向量的情况下解决这个问题，类似于这个 numpy implementation。我们可以将经度/纬度视为组合在一起的两个四元数旋转。

让我们使用 Z-up 右手坐标系。我们称经度φ和纬度θ，将两者表示的点称为(φ, θ)。对于可视化，红色轴对应于 X，绿色对应于 Y，蓝色对应于 Z。

我们想要找到表示从红色的 (0, 0) 到绿色的 ( a , b ) 的旋转的四元数：

我们可以将这种旋转首先表示为纵向旋转的组合，然后是纬度旋转的组合，如下所示：

首先，我们沿 Z 轴旋转了a，这会转换 X 和 Y 轴。然后，我们沿新的局部 Y 轴旋转b 。因此，我们知道此旋转的两组轴/角度信息。

幸运的是，从轴/角度到四元数的转换是已知的。给定一个角度 α 和一个轴向量 ω，得到的四元数是：

(cos(α/2), ω.x*sin(α/2), ω.y*sin(α/2), ω.z*sin(α/2))

因此，第一个旋转由沿世界 (0, 0, 1) 轴旋转a度表示，给我们：

q1 = (cos(a/2), 0, 0, sin(a/2))

第二个旋转由沿变换/局部 (0, 1, 0) 轴的b度旋转表示，给我们：

q2 = (cos(b/2), 0, sin(b/2), 0)

我们可以将这两个四元数相乘，得到一个四元数，表示从 (0, 0) 到 ( a , b ) 的复合旋转。四元数乘法的公式有点长，但你可以在这里找到。结果：

q2*q1 = (cos(a/2)cos(b/2), -sin(a/2)sin(b/2), cos(a/2)sin(b/2), sin(a/2)cos(b/2))

不是说意义太大，但是我们可以确认这个公式和前面提到的numpy实现是一样的。

JCooper 提到了一个重要的点，即在这种情况下，沿 X 轴仍然留下一个自由度。如果θ保持在±90度以内，我们可以想象Z轴总是向上的。这具有约束 X 轴旋转的效果，希望是您想要的。

希望这可以帮助！

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编辑：请注意，这与使用 2 个欧拉角基本相同。因此，要反转这种转换，您可以使用任何四元数到欧拉角的转换，前提是旋转顺序相同。

Answer 2

Latitude and longitude aren't enough to describe a quaternion. Latitude and longitude can describe a point on the surface of a 3d sphere. Let's say that's the point whose normal points directly out through the screen. You still have a degree of freedom left. The sphere can spin around the normal vector of the point specified by lat-lon. If you want a quaternion that represents the orientation of the sphere, you need to fully specify the rotation.

So let's say that you want to keep the north-pole of the sphere pointed upward. If the north pole is aligned with the object's +z axis and 'up' on the screen is aligned with the world's +y axis, and then you want to rotate the sphere so that point R on the surface of the sphere is pointed directly out at the screen (where R is found using lat-lon to euclidean as you mentioned in your comment), then you create the rotation matrix as follows.

You want object's R to align with the world's +z (assuming an OpenGL-like view-coordinate system) and you want object's +z to align with world's +y (as close as possible). We need the third axis; so we normalize R and then find: P = crossP([0 0 1]^T,R). We normalize P and then enforce orthogonality onto the second axis: Q = crossP(R,P). Finally, normalize Q. Now we have 3 orthogonal vectors P, Q, R that we want to align with the world's x,y,z respectively.

I'm assuming that P, Q, and R are column vectors; so to create a transformation matrix, we just stick 'em together: M = [P Q R]. Now M is the matrix that would transform a point in world coordinates into object coordinates. To go the opposite direction, we find the inverse of M. Fortunately, when the columns of a matrix are orthonormal, the inverse is the same as the transpose. So we get:

             [ P^T ]
M^-1 = M^T = [ Q^T ]
             [ R^T ]

From that, if you need, you can find a quaternion using matrix to quaternion conversion. And then you can interpolate between quaternions using slerp or your method of choice.

Answer 3

也许你可以看看 boost C++ 库是如何实现它的。（或者甚至使用它）http://www.boost.org/doc/libs/1_46_0/libs/math/doc/quaternion/html/boost_quaternions/quaternions/create.html

经度和纬度与球坐标中的方位角 (theta - [0, 2*PI]) 和倾角 (rho? [0,PI]) 非常相似（表面的半径 r=1）。Boost 在我发布的链接中具有球面到四元数的功能。