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我正在尝试使用 QR 分解和 linalg.solve 解决超定系统，但我得到的错误是

LinAlgError: 数组的最后 2 个维度必须是 square。

当 R 数组不是正方形时，会发生这种情况，对吗？代码看起来像这样

import numpy as np
import math as ma

A = np.random.rand(2,3)
b = np.random.rand(2,1) 
Q, R = np.linalg.qr(A)
Qb = np.matmul(Q.T,b)
x_qr = np.linalg.solve(R,Qb)

对于任意 A 尺寸，有没有办法以更有效的方式编写它？如果没有，我该如何使这个代码片段工作？

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原因确实是矩阵R不是方阵，可能是因为系统是超定的。您可以尝试np.linalg.lstsq找到最小化平方误差的解决方案（如果存在，它应该会产生精确的解决方案）。

import numpy as np

A = np.random.rand(2, 3)
b = np.random.rand(2, 1) 
x_qr = np.linalg.lstsq(A, b)[0]
于 2018-12-11T21:40:58.790 回答
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您需要使用标志 mode='reduced' 调用 QR。默认的 QR 矩阵返回为 M x M 和 M x N，因此如果 M 大于 N，那么您的矩阵 R 将是非正方形的。如果您选择缩减（经济）模式，您的矩阵将是 M x N 和 N x N，在这种情况下，求解程序可以正常工作。

但是，对于超定系统，您也有向后的方程/未知数。您的代码段应该是

import numpy as np 

A = np.random.rand(3,2)
b = np.random.rand(3,1) 
Q, R = np.linalg.qr(A, mode='reduced')
#print(Q.shape, R.shape)
Qb = np.matmul(Q.T,b)
x_qr = np.linalg.solve(R,Qb)

正如其他贡献者所指出的，您也可以直接调用 lstsq，但有时直接使用 Q 和 R 会更方便（例如，如果您还计划计算投影矩阵）。

于 2020-02-04T11:08:30.540 回答
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如文档所示numpy.linalg.solve：

计算完全确定的（即满秩）线性矩阵方程 ax = b 的“精确”解 x。

你的方程组是欠定的而不是超定的。请注意，其中有 3 个变量和 2 个方程，因此方程比未知数少。

numpy.linalg.solve(a,b)另请注意，它还提到 ina必须是MxM矩阵。这背后的原因是求解方程组Ax=b涉及计算 的逆A，并且只有方阵是可逆的。

在这些情况下，一种常见的方法是采用 Moore-Penrose 伪逆，它将计算系统的最佳拟合（最小二乘）解。因此，不要尝试解决确切的解决方案，而是使用numpy.linalg.lstsq：

x_qr = np.linalg.lstsq(R,Qb)
于 2018-12-11T22:08:05.447 回答