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在我使用 Java 编写的矢量图形程序中，理想情况下，任何形状都可以由 Path2D 类的修改形式表示，该类使用二次贝塞尔曲线。理想情况下，椭圆也可以表示为 Path2D 对象。互联网上有大量文档使用三次贝塞尔曲线逼近圆的象限，但使用 Path2D 类，三次贝塞尔曲线是不可能的。我一直在使用 Desmos 试图找到一个圆的八分圆的近似值，一个以 为中心的半径圆的中点（两个控制点之间）大约是1(0, 0)(0.993, 0.412). 当然，有一些无理数可以更精确地表示为使用平方根或三角函数的公式。

我曾尝试使用公式4*tan(pi/(2*n))/3。该公式不适用于八分圆，或者在我找到它的地方没有得到很好的解释。

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如果你说你在哪里找到它会有所帮助 - 任意角度的公式（显然包括八分圆，只需插入 PI/4 作为你的角度）与你显示的有很大不同。在https://pomax.github.io/bezierinfo/#circles上找到真正的公式和解释。

二次曲线非常简单，因为控制点是端点切线的线性交点。因此，给定具有垂直切线的起点（1,0）（因为它是一个圆，这就是圆的工作方式）和某个角度 phi 的终点（cos（phi），sin（phi）），切线（sin（phi） , -cos(phi))，我们可以将这条曲线的控制点确定为：

Cx = cos(phi) - b * sin(phi)
Cy = sin(phi) + b * cos(phi)

在哪里：

    cos(phi) - 1
b = ------------
      sin(phi)

（这里的实际数学在上面的链接中进行了解释）。

插入 PI/4 来计算第一个八分圆意味着我们得到：

Cx = 1 (obviously; it's a vertical tangent, so the x coordinate is fixed)
Cy = sqrt(2) - 1

你就完成了：你不需要派生任何其他值，因为所有其他八分圆只是这些值的反映，你只需在纸上画一个圆圈，画线以显示八分圆，标记第一个八分圆及其坐标值，然后转到“哦，显然其他坐标是：...”——上面的公式也适用于半径为 1 的圆，但你知道如何乘法，所以你知道如何缩放值使它们与您想要的圈子相匹配。

不过，我很好奇为什么要使用二次曲线，因为与三次曲线相比，它们在客观上非常糟糕。例如：你需要 16 个点来模拟一个具有二次八分圆的圆，而你只需要 12 个点来模拟一个具有更高精度的立方四分之一。

此外，即使您只使用二次方程，您的软件用户也可能会转向其他软件。如果您的软件的其余部分值得使用，他们希望可以使用cubics 来请求您使用它们。为此做好计划，或者理想情况下从一开始就支持二次和三次。毕竟，SVG 等已经做到了。

于 2018-08-09T16:01:25.080 回答