让
d
p(n) = Σ ai n^i
i=0
其中 ad > 0 是 n 中的 d 次多项式,设 k 为常数。使用渐近符号的定义来证明以下性质。
a) if k >= d, then p(n) = O(n^k)
还有 4 个对应于 Omega、theta、small o 和 small omega 属性,但如果我能知道如何开始,我可以自己弄清楚其他的。
这很简单。在此处查看大 O 表示法的正式定义:http ://en.wikipedia.org/wiki/Big_o_notation#Formal_definition ,尤其是在本节末尾的公式中limsup
。您要证明的是,当 n 趋于(正)无穷大时 p(n)/n^k 的极限是一个实数。如果 k > d,则限制为零。如果 k=d,那么极限是 a_d。为什么?因为它是 n^k 上的简单多项式(d 阶),它也是一个多项式(k 阶)。看看计算多项式的极限。
a) if k >= d, then p(n) = O(n^k)
如果这是真的,那么存在 N、A 和 B 使得:
p(n) <= A + B*n^k
对于所有 n >= N
这样的 N、A 和 B 存在,例如:
d
B = Σ ai n^i
i=0
A = 1
N = 1
如果您认为这足够有洞察力,或者实际上通过归纳证明 N、A 和 B 的选择确实使该陈述有效,您可以将其保留。