logic - 逻辑等价：证明 R OR P 蕴含 R OR Q 等价于 NOT R 蕴含（P 蕴含 Q）？

Question

我正在练习逻辑对等，但遇到了一个我很难回答的问题：

证明 (R or P -> R or Q) 等价于 (not R -> (P -> Q))。

我已经检查了这两种含义的真值表，但问题指出我应该使用等价定律来证明含义是等价的。

如果有人可以帮助我，我将不胜感激。

谢谢你。

Answer 1

直觉的

一个只允许一个人一个一个地遵循步骤的正式证明（包括在下面）不如一个帮助我们理解为什么两个表达式是等价的证明有用。考虑第一个表达式：

(R or P) -> (R or Q)

想想它的意义……

表达式是微不足道的R=true，不是吗？因此，它包含的唯一信息是当R=false, P -> (R or Q)。但是当R=false, (R or Q) = Q. 所以，表达式的确切含义是当R=false, P -> Q. 换句话说，not R -> (P -> Q).

正式的

(R or P) -> (R or Q) = not (R or P) or (R or Q)             ;X -> Y = not X or Y
                     = (not R and not P) or (R or Q)        ;not (X or Y) = not X or not Y
                     = ((not R and not P) or R) or Q        ;X or (Y or Z) = (X or Y) or Z
                     = ((not R or R) and (not P or R)) or Q ;(X and Y) or Z = (X or Z) and (Y or Z)
                     = (not P or R) or Q                    ;(not X or X) = true
                     = (R or not P) or Q
                     = R or (not P or Q)
                     = R or (P -> Q)
                     = not (not R) or (P -> Q)
                     = not R -> (P -> Q)                    ;not X or Y = X -> Y