正如您所说,模数不是成对素数。您可以检查每一对(三个模数的三对),并且 GCD(最大公约数)大于 1 的唯一一对是1473
和1827
,GCD 为3
。然后我们寻找除一个以上给定模数的所有素数。(有几种方法可以做到这一点。)我们发现它3
是唯一除以一个以上模数的素数,并且除以一个以上模数的素数的最高幂是3**1 = 3
(我使用 Python 和 Fortran 中使用的求幂符号为清楚起见,因为插入符号在计算机中也有其他用途。)
这可能会阻止您的方程组有任何解决方案。我们可以通过在方程中用它们的 GCD 替换这些模量来检查这一点,看看我们是否得到矛盾。
x = 1031 = 2 (mod 3)
x = 50 = 2 (mod 3)
结果方程是一致的,因此您的原始系统可能仍有解。(如果更高的幂3
也除一个以上的模,我们也需要检查那些更高的幂。)对于我们发现的每个素数和每个模,我们找到除模的那个素数的最高幂。在我们的例子中,我们看到了3
divides 1473
but not3**2
和 that 3**2
divides 1827
but not 3**3
。所以我们的最高功率是3**2 = 9
,我们看到该功率和更低功率的方程是一致的。
我们现在用新的方程替换两个相关方程,方法是将模数替换为最后一段中素数的最高幂之后的模数。这意味着1473
用1473 / 3 = 491
和1827
替换1827 / 9 = 203
。我们还为除一个以上模数的素数的每个幂添加了新的方程。所以现在我们有四个联立模方程:
x = 1031 (mod 491)
x = 1141 (mod 1234)
x = 50 (mod 203)
x = 50 (mod 9) [from your original equation #1, 3]
我们可以减少其中一些方程的右手边,我们得到
x = 49 (mod 491)
x = 1141 (mod 1234)
x = 50 (mod 203)
x = 5 (mod 9)
该系统的解决方案也适用于您的原始系统。
我相信您可以将其转换为算法,然后将其转换为计算机代码。询问您是否有更多问题。