python - `(N,M,M)` 矩阵的 Python `expm`

Question

让我们A成为一个(N,M,M)矩阵（N非常大），我想scipy.linalg.expm(A[n,:,:])为每个n in range(N). 我当然可以只使用一个for循环，但我想知道是否有一些技巧可以以更好的方式做到这一点（比如np.einsum）。

对于其他操作，例如反转矩阵（反转在评论中解决），我有同样的问题。

Answer 1

根据矩阵的大小和结构，您可以做得比循环更好。

假设您的矩阵可以对角化为A = V D V^(-1)（其中D特征值在其对角线中并V包含相应的特征向量作为列），您可以计算矩阵指数为

exp(A) = V exp(D) V^(-1)

其中exp(D)仅包含其对角线中exp(lambda)的每个特征值。lambda如果我们使用指数函数的幂级数定义，这真的很容易证明。如果矩阵A进一步正常，则矩阵V是单一的，因此可以通过简单地取其伴随来计算其逆。

好消息是，numpy.linalg.eig两者numpy.linalg.inv都可以很好地处理堆叠矩阵：

import numpy as np
import scipy.linalg

A = np.random.rand(1000,10,10)

def loopy_expm(A):
    expmA = np.zeros_like(A)
    for n in range(A.shape[0]):
        expmA[n,...] = scipy.linalg.expm(A[n,...])
    return expmA

def eigy_expm(A):
    vals,vects = np.linalg.eig(A)
    return np.einsum('...ik, ...k, ...kj -> ...ij',
                     vects,np.exp(vals),np.linalg.inv(vects))

请注意，在对 的调用中指定操作顺序时可能有一些优化空间einsum，但我没有对此进行调查。

测试上面的随机数组：

In [59]: np.allclose(loopy_expm(A),eigy_expm(A))
Out[59]: True

In [60]: %timeit loopy_expm(A)
824 ms ± 55.7 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

In [61]: %timeit eigy_expm(A)
138 ms ± 992 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)

这已经很好了。如果你足够幸运，你的矩阵都是正常的（比如说，因为它们是真正对称的）：

A = np.random.rand(1000,10,10)
A = (A + A.transpose(0,2,1))/2

def eigy_expm_normal(A):
    vals,vects = np.linalg.eig(A)
    return np.einsum('...ik, ...k, ...jk -> ...ij',
                     vects,np.exp(vals),vects.conj())

注意输入矩阵的对称定义和 的模式内的转置einsum。结果：

In [80]: np.allclose(loopy_expm(A),eigy_expm_normal(A))
Out[80]: True

In [79]: %timeit loopy_expm(A)
878 ms ± 89.7 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

In [80]: %timeit eigy_expm_normal(A)
55.8 ms ± 868 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)

这是上述示例形状的 15 倍加速。

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应该注意的是，scipy.linalg.eigm根据文档使用 Padé 近似。这可能意味着如果您的矩阵是病态的，则特征值分解可能会产生与 不同的结果scipy.linalg.eigm。我不熟悉此功能的工作原理，但我希望它对病理输入更安全。