python - 在给定的点集中选择最远点的子集

Question

想象一下，给定 3 个维度的 n 个点的集合 S。任何两点之间的距离都是简单的欧几里得距离。您想从该集合中选择 k 个点的子集 Q，使它们彼此相距最远。换句话说，不存在k个点的其他子集Q'，使得Q中所有成对距离的min小于Q'中的min。

如果 n 约为 1600 万，k 约为 300，我们如何有效地做到这一点？

我的猜测是这个 NP-hard 所以我们可能只想专注于近似。我能想到的一个想法是使用多维缩放对一条线上的这些点进行排序，然后使用二进制搜索的版本来获取这条线上相距最远的点。

Answer 1

这被称为离散 p 色散 (maxmin) 问题。

White (1991)和Ravi 等人证明了最优性界限。(1994)给出了该问题的因子 2 近似值，后者证明这种启发式是最好的（除非 P = NP）。

因子 2 近似

因子 2 近似值如下：

Let V be the set of nodes/objects
Let i and j be two nodes at maximum distance
Let p be the number of objects to choose
p = set([i,j])
while size(P)<p:
  Find a node v in V-P such that min_{v' in P} dist(v,v') is maximum
  \That is: find the node with the greatest minimum distance to the set P
  P = P.union(v)
Output P

你可以像这样在 Python 中实现它：

#!/usr/bin/env python3

import numpy as np

p = 50
N = 400

print("Building distance matrix...")
d = np.random.rand(N,N) #Random matrix
d = (d + d.T)/2         #Make the matrix symmetric

print("Finding initial edge...")
maxdist  = 0
bestpair = ()
for i in range(N):
  for j in range(i+1,N):
    if d[i,j]>maxdist:
      maxdist = d[i,j]
      bestpair = (i,j)

P = set()
P.add(bestpair[0])
P.add(bestpair[1])

print("Finding optimal set...")
while len(P)<p:
  print("P size = {0}".format(len(P)))
  maxdist = 0
  vbest = None
  for v in range(N):
    if v in P:
      continue
    for vprime in P:
      if d[v,vprime]>maxdist:
        maxdist = d[v,vprime]
        vbest   = v
  P.add(vbest)

print(P)

确切的解决方案

您也可以将其建模为 MIP。对于 p=50、n=400，在 6000 秒后，最优差距仍为 568%。近似算法花了 0.47 秒来获得 100%（或更少）的最优差距。一个朴素的 Gurobi Python 表示可能如下所示：

#!/usr/bin/env python
import numpy as np
import gurobipy as grb

p = 50
N = 400

print("Building distance matrix...")
d = np.random.rand(N,N) #Random matrix
d = (d + d.T)/2             #Make the matrix symmetric

m = grb.Model(name="MIP Model")

used  = [m.addVar(vtype=grb.GRB.BINARY) for i in range(N)]

objective = grb.quicksum( d[i,j]*used[i]*used[j] for i in range(0,N) for j in range(i+1,N) )

m.addConstr(
  lhs=grb.quicksum(used),
  sense=grb.GRB.EQUAL,
  rhs=p
)

# for maximization
m.ModelSense = grb.GRB.MAXIMIZE
m.setObjective(objective)

# m.Params.TimeLimit = 3*60

# solving with Glpk
ret = m.optimize()

缩放

显然，初始点的 O(N^2) 缩放是不好的。通过认识到这对必须位于数据集的凸包上，我们可以更有效地找到它们。这给了我们一个O(N log N)的方法来找到这对。一旦我们找到它，我们就会像以前一样继续（使用 SciPy 进行加速）。

最好的缩放方法是使用 R*-tree 来有效地找到候选点 p 和集合 P 之间的最小距离。但这在 Python 中不能有效地完成，因为for仍然涉及循环。

import numpy as np
from scipy.spatial import ConvexHull
from scipy.spatial.distance import cdist

p = 300
N = 16000000

# Find a convex hull in O(N log N)
points = np.random.rand(N, 3)   # N random points in 3-D

# Returned 420 points in testing
hull = ConvexHull(points)

# Extract the points forming the hull
hullpoints = points[hull.vertices,:]

# Naive way of finding the best pair in O(H^2) time if H is number of points on
# hull
hdist = cdist(hullpoints, hullpoints, metric='euclidean')

# Get the farthest apart points
bestpair = np.unravel_index(hdist.argmax(), hdist.shape)

P = np.array([hullpoints[bestpair[0]],hullpoints[bestpair[1]]])

# Now we have a problem
print("Finding optimal set...")
while len(P)<p:
  print("P size = {0}".format(len(P)))
  distance_to_P        = cdist(points, P)
  minimum_to_each_of_P = np.min(distance_to_P, axis=1)
  best_new_point_idx   = np.argmax(minimum_to_each_of_P)
  best_new_point = np.expand_dims(points[best_new_point_idx,:],0)
  P = np.append(P,best_new_point,axis=0)

print(P)

Answer 2

我也很确定问题是 NP-Hard，我发现的最相似的问题是k-Center Problem。如果运行时间比正确性更重要，那么贪心算法可能是您的最佳选择：

Q ={}
while |Q| < k
    Q += p from S where mindist(p, Q) is maximal

旁注：在类似的问题中，例如集合覆盖问题，可以证明贪心算法的解决方案至少比最优解决方案好 63%。

为了加快速度，我看到了 3 种可能性：

1. 首先在R-Tree中索引您的数据集，然后执行贪婪搜索。R-Tree 的构建是 O(n log n)，但尽管它是为最近邻搜索而开发的，但它也可以帮助您找到 O(log n) 中的一组点的最远点。这可能比简单的 O(k*n) 算法更快。

2. 从您的 1600 万个点中采样一个子集，并对子集执行贪心算法。无论如何，您都是近似的，因此您可以节省更多的准确性。您也可以将其与 1. 算法结合使用。

3. 使用迭代方法并在您没时间时停止。这里的想法是从 S 中随机选择 k 个点（我们称这个集合为 Q'）。然后在每个步骤中，您将点 p_ 从 Q' 切换到 Q' 中具有最小距离的另一个点，并带有来自 S 的随机点。如果结果集 Q'' 最好继续 Q''，否则重复 Q' . 为了不被卡住，如果您找不到足够的替代品来进行几次迭代，您可能希望从 Q' 中选择另一个点而不是 p_。

Answer 3

如果你能负担得起 ~ k*n 距离计算，那么你可以

1. 找到点分布的​​中心。
2. 选择离中心最远的点。（并将其从一组未选择的点中删除）。
3. 找到离所有当前选定点最远的点并选择它。
4. 重复 3. 直到以 k 点结束。

Answer 4

找到所有点的最大范围。拆分为 7x7x7 体素。对于体素中的所有点，找到最接近其中心的点。返回这些 7x7x7 点。一些体素可能不包含点，希望不会太多。