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我想将算法的输出与不同的预处理数据进行比较：NMF 和 PCA。为了以某种方式获得可比较的结果，而不是为每个 PCA 和 NMF 选择相同数量的组件，我想选择解释例如 95% 的保留方差的数量。

我想知道是否可以识别 NMF 的每个组件中保留的方差。

例如，使用 PCA 可以通过以下方式给出： retainedVariance(i) = eigenvalue(i) / sum(eigenvalue)

有任何想法吗？

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TL;博士

您应该在每次迭代时遍历不同的n_components和估计explained_variance_score的解码。X这将显示您需要多少组件来解释 95% 的方差。

现在我将解释原因。

PCA 和 NMF 的关系

NMF 和 PCA 与许多其他无监督学习算法一样，旨在做两件事：

  • 将输入编码X为压缩表示H；
  • 解码 H回X'，应该尽可能接近X。

他们以某种类似的方式做到这一点：

  • PCA 和 NMF 中的解码类似：它们输出X' = dot(H, W)，其中W是学习的矩阵参数。
  • 编码不一样。在 PCA 中，它也是线性的：H = dot(X, V)，其中V也是一个学习参数。在 NMF 中，H = argmin(loss(X, H, W))（H仅关于），其中是和loss之间的均方误差，加上一些额外的惩罚。最小化是通过坐标下降来执行的，结果可能是非线性的。Xdot(H, W)X
  • 训练也不同。PCA 顺序学习：第一个分量在没有约束的情况下最小化 MSE，下一个k分量最小化剩余 MSE，但要与前面的分量正交。NMF 最小化与loss(X, H, W)编码时相同，但现在针对H和W。

如何衡量降维的性能

如果要测量编码/解码算法的性能，可以按照通常的步骤操作：

  1. 训练你的编码器+解码器X_train
  2. 要测量样本内性能，请X_train'=decode(encode(X_train))与X_train使用您的首选指标（例如 MAE、RMSE 或解释方差）进行比较
  3. 要测量算法的样本外性能（泛化能力），请使用 unseen 执行步骤 2 X_test。

让我们试试PCAand NMF！

from sklearn import decomposition, datasets, model_selection, preprocessing, metrics
# use the well-known Iris dataset
X, _ = datasets.load_iris(return_X_y=True)
# split the dataset, to measure overfitting
X_train, X_test = model_selection.train_test_split(X, test_size=0.5, random_state=1)
# I scale the data in order to give equal importance to all its dimensions
# NMF does not allow negative input, so I don't center the data
scaler = preprocessing.StandardScaler(with_mean=False).fit(X_train)
X_train_sc = scaler.transform(X_train)
X_test_sc = scaler.transform(X_test)
# train the both decomposers
pca = decomposition.PCA(n_components=2).fit(X_train_sc)
nmf = decomposition.NMF(n_components=2).fit(X_train_sc)
print(sum(pca.explained_variance_ratio_))

它将打印您解释的方差比0.9536930834362043- PCA 的默认度量，使用其特征值估计。我们可以用更直接的方式来衡量它——通过将度量应用于实际值和“预测”值：

def get_score(model, data, scorer=metrics.explained_variance_score):
    """ Estimate performance of the model on the data """
    prediction = model.inverse_transform(model.transform(data))
    return scorer(data, prediction)

print('train set performance')
print(get_score(pca, X_train_sc))
print(get_score(nmf, X_train_sc))

print('test set performance')
print(get_score(pca, X_test_sc))
print(get_score(nmf, X_test_sc))

这使

train set performance
0.9536930834362043 # same as before!
0.937291711378812 
test set performance
0.9597828443047842
0.9590555069007827

您可以看到 PCA 在训练集上的表现优于 NMF，但在测试集上它们的表现几乎相同。发生这种情况是因为 NMF 应用了大量的正则化：

  • H和W（学习的参数）必须是非负的
  • H应该尽可能小（L1 和 L2 惩罚）
  • W应该尽可能小（L1 和 L2 惩罚）

这些正则化使 NMF 对训练数据的拟合比可能的更差，但它们可能会提高其泛化能力，这发生在我们的案例中。

如何选择组件的数量

在PCA中，这很简单，因为它的组件h_1, h_2, ... h_k是按顺序学习的。如果添加新组件h_(k+1)，则第一个k不会更改。因此，您可以估计每个组件的性能，并且这些估计不会依赖于组件的数量。这使得 PCA 可以explained_variance_ratio_在仅一次拟合数据后输出数组。

NMF更复杂，因为它的所有组件都是同时训练的，并且每个组件都依赖于其余所有组件。因此，如果您添加第k+1th 个组件，第一个k组件将发生变化，并且您无法将每个特定组件与其解释的方差（或任何其他指标）匹配。

但是您可以NMF为每个组件数量拟合一个新实例，并比较总解释方差：

ks = [1,2,3,4]
perfs_train = []
perfs_test = []
for k in ks:
    nmf = decomposition.NMF(n_components=k).fit(X_train_sc)
    perfs_train.append(get_score(nmf, X_train_sc))
    perfs_test.append(get_score(nmf, X_test_sc))
print(perfs_train)
print(perfs_test)

这会给

[0.3236945680665101, 0.937291711378812, 0.995459457205891, 0.9974027602663655]
[0.26186701106012833, 0.9590555069007827, 0.9941424954209546, 0.9968456603914185]

因此，需要三个分量（根据训练集性能判断）或两个分量（根据测试集）来解释至少 95% 的方差。请注意，这种情况是不寻常的，并且是由少量的训练和测试数据引起的：通常在测试集上性能会下降一点，但在我的情况下它实际上有所改善。

于 2018-03-11T07:48:35.060 回答