假设您有一个任意三角形，其顶点A为 、B和C。这篇论文（第 4.2 节）说，您可以通过以下顶点的凸组合P从三角形内均匀地生成一个随机点 ：ABC
P = (1 - sqrt(r1)) * A + (sqrt(r1) * (1 - r2)) * B + (sqrt(r1) * r2) * C
其中r1和r2是从 中统一绘制的[0, 1]，sqrt是平方根函数。
您如何证明在三角形内均匀分布ABC的采样点是合理的？
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正如在 mathoverflow 问题的评论中指出的那样， Graphical Gems 讨论了这个算法。
您有一张从单位正方形到三角形的地图 P(r1,r2)。均匀地选择 r1 和 r2 在单位正方形中给出一个随机点。三角形中的图像是根据映射 P 的雅可比行列式分布的，它是一个常数。因此图像分布也是均匀的。
实际上，要验证这一点，您只需要检查它的三重非共线点 A、B、C。仿射线性映射具有恒定的雅可比行列式，因此您可以应用其中之一将任意三元组移动到此标准位置，而不会影响分布。
最后，关于“为什么”的一句话：考虑三角形由平行于 BC 边的线段填充。在 P 的公式中，变量 r1 选择该点将位于哪个线段，而 r2 确定它将在该线段的哪个位置。为了统一，给定段上的所有点都应该被平等对待（因此在 r2 中是线性的）。但是对于 r1，由于某些段比其他段短，我们需要偏爱长段以实现均匀分布。公式中的 sqrt(r1) 说明了这一点。