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我正在尝试在 GP/PARI 中编写一个程序，它给定一个有限域（在本例中，我将使用 p=3 上 9 个元素的度 2 域），计算所有元素的立方并将其存储在一个列表中（我知道这是非常低效的）。然后，我想在同一个字段的点上评估一些函数并测试它是否在这个列表中（是否是三次残差）。我正在尝试使用 GP/PARI 中的列表来完成此操作，然后在其上使用 setsearch。

我首先定义我的不可约多项式模 3。然后我遍历我的 9 个元素字段中的所有元素，将它们立方化并将其存储在一个列表中，该列表被实现为这个多项式环的商（双模）。一旦我有了这个列表，我现在就遇到了 setsearch 的麻烦。首先，该列表似乎以双模组的形式存储它。视觉上非常难看，但我不介意只要它可以进行计算。但是，似乎不能。例如，0 应该在列表中，但使用 setsearch 对其进行测试会返回 false。我猜原因是在列表中，0 存储为Mod(Mod(0,3),rpoly)

事实上，（见下文）似乎确实如此。然而，更糟糕的事情正在发生。>

(15:45) gp > rpoly=Mod(1,3)*(x^2-x-1);
(15:45) gp > polisirreducible(rpoly)
%2 = 1
(15:45) gp > cubic=listcreate(9);
(15:45) gp > for(a=0,2,for(b=0,2,listput(cubic,Mod(Mod(1,3)*(a*x+b)^3,rpoly))))
(15:46) gp > cubic
%5 = List([Mod(Mod(0, 3), Mod(1, 3)*x^2 + Mod(2, 3)*x + Mod(2, 3)), Mod(Mod(1, 3), Mod(1, 3)*x^2 + Mod(2, 3)*x + Mod(2, 3)), Mod(Mod(2, 3), Mod(1, 3)*x^2 + Mod(2, 3)*x + Mod(2, 3)), Mod(Mod(2, 3)*x + Mod(1, 3), Mod(1, 3)*x^2 + Mod(2, 3)*x + Mod(2, 3)), Mod(Mod(2, 3)*x + Mod(2, 3), Mod(1, 3)*x^2 + Mod(2, 3)*x + Mod(2, 3)), Mod(Mod(2, 3)*x, Mod(1, 3)*x^2 + Mod(2, 3)*x + Mod(2, 3)), Mod(Mod(1, 3)*x + Mod(2, 3), Mod(1, 3)*x^2 + Mod(2, 3)*x + Mod(2, 3)), Mod(Mod(1, 3)*x, Mod(1, 3)*x^2 + Mod(2, 3)*x + Mod(2, 3)), Mod(Mod(1, 3)*x + Mod(1, 3), Mod(1, 3)*x^2 + Mod(2, 3)*x + Mod(2, 3))])
(15:46) gp > setsearch(cubic,Mod(Mod(0,3),rpoly))
%6 = 0
(15:47) gp > setsearch(cubic,Mod(Mod(0,3)*x+Mod(0,3),rpoly))
%7 = 1

因此，它似乎不仅拒绝承认 0 在列表中，而且甚至在穿过该字段时自然会遇到的其他形式的 0 也不起作用：它特别想要 %7

为什么会这样？更重要的是，有没有办法解决这个问题以实现我的目标？

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1 回答 1

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我不知道 gp，但你能验证你的立方列表是否正确吗？我得到以下。

((0x + 0)^3) mod (x^2 - 1x - 1) = 0x + 0 = {0,0}
((0x + 1)^3) mod (x^2 - 1x - 1) = 0x + 1 = {0,1}
((0x + 2)^3) mod (x^2 - 1x - 1) = 0x + 2 = {0,2}
((1x + 0)^3) mod (x^2 - 1x - 1) = 2x + 1 = {2,1}
((1x + 1)^3) mod (x^2 - 1x - 1) = 2x + 2 = {2,2}
((1x + 2)^3) mod (x^2 - 1x - 1) = 2x + 0 = {2,0}
((2x + 0)^3) mod (x^2 - 1x - 1) = 1x + 2 = {1,2}
((2x + 1)^3) mod (x^2 - 1x - 1) = 1x + 0 = {1,0}
((2x + 2)^3) mod (x^2 - 1x - 1) = 1x + 1 = {1,1}

所有 8 个非零元素都可以认为是 1x + 0 的幂：

((1x + 0)^0) mod (x^2 - 1x - 1) = 0x + 1 = {0,1}
((1x + 0)^1) mod (x^2 - 1x - 1) = 1x + 0 = {1,0}
((1x + 0)^2) mod (x^2 - 1x - 1) = 1x + 1 = {1,1}
((1x + 0)^3) mod (x^2 - 1x - 1) = 2x + 1 = {2,1}
((1x + 0)^4) mod (x^2 - 1x - 1) = 0x + 2 = {0,2}
((1x + 0)^5) mod (x^2 - 1x - 1) = 2x + 0 = {2,0}
((1x + 0)^6) mod (x^2 - 1x - 1) = 2x + 2 = {2,2}
((1x + 0)^7) mod (x^2 - 1x - 1) = 1x + 2 = {1,2}
((1x + 0)^8) mod (x^2 - 1x - 1) = 0x + 1 = {0,1} (sequence repeats)

所以乘法或求幂可以使用对数和反对数的等价物来实现：

((2x + 2)^3) => ((1x + 0)^6)^3 => ((1x + 0)^(18 mod 8)) => (1x + 0)^2 => 1x + 1
于 2017-10-25T07:05:09.103 回答